Номер 229, страница 94 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

229. Прямая $AM$ перпендикулярна плоскости квадрата $ABCD$, диагонали которого пересекаются в точке $O$. Докажите, что прямая $BD$ перпендикулярна:

а) плоскости $AMO$;

б) прямой $MO$.

а) Доказательство перпендикулярности прямой BD и плоскости AMO

По условию задачи, прямая $AM$ перпендикулярна плоскости квадрата $(ABCD)$. Это означает, что $AM \perp (ABCD)$.
Чтобы доказать, что прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $(AMO)$, необходимо, согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, показать, что прямая $BD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости $(AMO)$.
В плоскости $(AMO)$ лежат прямые $AM$ и $AO$, которые пересекаются в точке $A$. Докажем, что $BD$ перпендикулярна каждой из этих прямых.

1. Перпендикулярность $BD$ и $AM$.
Так как прямая $AM$ перпендикулярна плоскости $(ABCD)$, а прямая $BD$ лежит в этой плоскости ($BD \subset (ABCD)$), то по определению прямой, перпендикулярной плоскости, $AM$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, $AM \perp BD$.

2. Перпендикулярность $BD$ и $AO$.
Фигура $ABCD$ является квадратом. Одно из свойств квадрата заключается в том, что его диагонали взаимно перпендикулярны. Диагонали квадрата $ABCD$ — это $AC$ и $BD$. Следовательно, $AC \perp BD$. Прямая $AO$ является частью диагонали $AC$ (поскольку $O$ — точка пересечения диагоналей). Таким образом, прямая $BD$ также перпендикулярна прямой $AO$, то есть $BD \perp AO$.

Мы установили, что прямая $BD$ перпендикулярна двум прямым — $AM$ и $AO$, которые обе лежат в плоскости $(AMO)$ и пересекаются в точке $A$.
Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $(AMO)$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Доказательство перпендикулярности прямой BD и прямой MO

Из пункта а) было доказано, что прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $(AMO)$, что записывается как $BD \perp (AMO)$.
Прямая $MO$ определяется точками $M$ и $O$. Точка $O$ по условию лежит в плоскости $(AMO)$. Точка $M$ также принадлежит плоскости $(AMO)$ по определению этой плоскости. Следовательно, прямая $MO$ целиком лежит в плоскости $(AMO)$, то есть $MO \subset (AMO)$.
По определению прямой, перпендикулярной плоскости, если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Поскольку $BD \perp (AMO)$ и $MO \subset (AMO)$, то отсюда напрямую следует, что $BD \perp MO$.
Ответ: Что и требовалось доказать.