Номер 230, страница 94 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

230. Рёбра $AB$ и $AC$, а также $DB$ и $DC$ треугольной пирамиды $ABCD$ равны, а точка $M$ — середина ребра $BC$. Докажите, что плоскость треугольника $ADM$ перпендикулярна прямой $BC$.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию задачи рёбра $AB$ и $AC$ равны ($AB = AC$). Это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $BC$. Точка $M$ — середина ребра $BC$, следовательно, отрезок $AM$ является медианой этого треугольника, проведённой к основанию. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также и высотой. Таким образом, отрезок $AM$ перпендикулярен ребру $BC$, то есть $AM \perp BC$.

2. Аналогично рассмотрим треугольник $DBC$. По условию рёбра $DB$ и $DC$ равны ($DB = DC$), значит, треугольник $DBC$ также является равнобедренным с основанием $BC$. Отрезок $DM$ соединяет вершину $D$ с серединой основания $BC$, поэтому $DM$ — медиана треугольника $DBC$. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является и высотой. Следовательно, $DM$ перпендикулярен $BC$ ($DM \perp BC$).

3. Мы установили, что прямая $BC$ перпендикулярна двум прямым: $AM$ и $DM$. Прямые $AM$ и $DM$ пересекаются в точке $M$ и, следовательно, задают единственную плоскость — плоскость треугольника $ADM$.

4. Воспользуемся признаком перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости.

Поскольку прямая $BC$ перпендикулярна прямым $AM$ и $DM$, которые обе лежат в плоскости $ADM$ и пересекаются в точке $M$, то прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $ADM$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Плоскость треугольника $ADM$ перпендикулярна прямой $BC$.