Номер 226, страница 94 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

226*. Боковое ребро $OY$ треугольной пирамиды $OXYZ$ перпендикулярно плоскости её основания $XYZ$. Найдите это ребро, учитывая, что рёбра $YX$ и $YZ$ равны 27 см и 48 см соответственно и рёбра $OZ$ и $OX$ относятся как 4 : 3.

Пусть $OXYZ$ — данная треугольная пирамида. По условию, боковое ребро $OY$ перпендикулярно плоскости основания $XYZ$. Это означает, что ребро $OY$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $Y$. В частности, $OY \perp YX$ и $OY \perp YZ$.

Следовательно, треугольники $\Delta OYX$ и $\Delta OYZ$ являются прямоугольными треугольниками с прямым углом при вершине $Y$.

Обозначим длину искомого ребра $OY$ через $h$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\Delta OYX$. По теореме Пифагора: $OX^2 = OY^2 + YX^2$ Подставим известные значения: $YX = 27$ см. $OX^2 = h^2 + 27^2 = h^2 + 729$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\Delta OYZ$. По теореме Пифагора: $OZ^2 = OY^2 + YZ^2$ Подставим известные значения: $YZ = 48$ см. $OZ^2 = h^2 + 48^2 = h^2 + 2304$

По условию задачи, рёбра $OZ$ и $OX$ относятся как $4 : 3$. Это можно записать в виде уравнения: $\frac{OZ}{OX} = \frac{4}{3}$ Отсюда следует, что $3 \cdot OZ = 4 \cdot OX$. Возведем обе части этого равенства в квадрат: $(3 \cdot OZ)^2 = (4 \cdot OX)^2$ $9 \cdot OZ^2 = 16 \cdot OX^2$

Теперь подставим в это уравнение выражения для $OX^2$ и $OZ^2$, которые мы получили ранее: $9 \cdot (h^2 + 2304) = 16 \cdot (h^2 + 729)$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $h$: $9h^2 + 9 \cdot 2304 = 16h^2 + 16 \cdot 729$ $9h^2 + 20736 = 16h^2 + 11664$ Перенесём члены с $h^2$ в правую часть, а свободные члены — в левую: $20736 - 11664 = 16h^2 - 9h^2$ $9072 = 7h^2$ $h^2 = \frac{9072}{7}$ $h^2 = 1296$

Теперь найдем $h$, извлекая квадратный корень. Поскольку $h$ представляет собой длину ребра, мы рассматриваем только положительное значение корня: $h = \sqrt{1296}$ $h = 36$

Таким образом, длина ребра $OY$ составляет 36 см.

Ответ: 36 см.