Номер 220, страница 93 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

220*. Через вершину $C$ правильного треугольника $ABC$ со стороной $16\sqrt{3}$ см проведена прямая $k$, перпендикулярная плоскости $ABC$, а через ортоцентр $O$ этого треугольника — прямая $l$, параллельная прямой $k$. На прямых $k$ и $l$ выбраны точки $D$ и $E$, отстоящие от точек $C$ и $O$ на 16 см и 12 см соответственно. Найдите расстояние $DE$ и расстояния от точек $D$ и $E$ до вершин треугольника.

Для решения задачи сначала определим ключевые параметры правильного треугольника $ABC$ и расположение заданных точек в пространстве.

Дан правильный треугольник $ABC$ со стороной $a = 16\sqrt{3}$ см. В правильном треугольнике ортоцентр $O$ совпадает с центром описанной и вписанной окружностей, а также с центроидом (точкой пересечения медиан).

Найдем высоту (которая также является медианой) $h$, проведенную, например, из вершины $C$ к стороне $AB$:

$h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{16\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{16 \cdot 3}{2} = 24$ см.

Ортоцентр $O$, являясь центроидом, делит медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Расстояние от центра $O$ до любой из вершин равно радиусу $R$ описанной окружности.

$R = OA = OB = OC = \frac{2}{3}h = \frac{2}{3} \cdot 24 = 16$ см.

Теперь рассмотрим пространственное расположение. Прямая $k$ проходит через $C$ и перпендикулярна плоскости $(ABC)$. Прямая $l$ проходит через $O$ и параллельна прямой $k$. Следовательно, прямая $l$ также перпендикулярна плоскости $(ABC)$. На прямых $k$ и $l$ выбраны точки $D$ и $E$ так, что $CD = 16$ см и $OE = 12$ см.

расстояние DE

Поскольку прямые $k$ и $l$ параллельны и перпендикулярны плоскости $(ABC)$, расстояние между ними постоянно и равно расстоянию между точками $C$ и $O$ в этой плоскости, то есть $OC = 16$ см.

Рассмотрим плоскость, проходящую через параллельные прямые $k$ и $l$. В этой плоскости находятся точки $C, O, D, E$. Отрезок $OC$ перпендикулярен обеим прямым $k$ и $l$. Спроецируем точку $D$ на прямую $l$, назовем проекцию $D'$. Тогда четырехугольник $CDD'O$ является прямоугольником. Отсюда $OD' = CD = 16$ см и $DD' = OC = 16$ см.

Треугольник $EDD'$ — прямоугольный с катетами $DD'$ и $ED'$. Гипотенуза $DE$ находится по теореме Пифагора: $DE^2 = (DD')^2 + (ED')^2$.

$DE^2 = 16^2 + (ED')^2$.

Длина катета $ED'$ зависит от того, по одну или по разные стороны от плоскости $(ABC)$ находятся точки $D$ и $E$.

1. Если точки $D$ и $E$ лежат по одну сторону от плоскости $(ABC)$, то длина отрезка $ED'$ равна разности длин отрезков $OD'$ и $OE$:
   $ED' = |OD' - OE| = |16 - 12| = 4$ см.
   Тогда $DE^2 = 16^2 + 4^2 = 256 + 16 = 272$.
   $DE = \sqrt{272} = \sqrt{16 \cdot 17} = 4\sqrt{17}$ см.
2. Если точки $D$ и $E$ лежат по разные стороны от плоскости $(ABC)$, то длина отрезка $ED'$ равна сумме длин отрезков $OD'$ и $OE$:
   $ED' = OD' + OE = 16 + 12 = 28$ см.
   Тогда $DE^2 = 16^2 + 28^2 = 256 + 784 = 1040$.
   $DE = \sqrt{1040} = \sqrt{16 \cdot 65} = 4\sqrt{65}$ см.

Так как условие задачи не уточняет взаимное расположение точек, то существует два возможных ответа.

Ответ: Расстояние $DE$ равно $4\sqrt{17}$ см или $4\sqrt{65}$ см.

расстояния от точек D и E до вершин треугольника

Расстояния от точки D до вершин.

Поскольку прямая $k$ (содержащая $D$) перпендикулярна плоскости $(ABC)$, отрезок $CD$ перпендикулярен любому отрезку в этой плоскости, выходящему из точки $C$. Таким образом, треугольники $\triangle DCA$ и $\triangle DCB$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $C$.

• Расстояние $DC$ дано по условию: $DC = 16$ см.
• Расстояние $DA$ найдем из прямоугольного $\triangle DCA$ по теореме Пифагора:
  $DA^2 = DC^2 + AC^2 = 16^2 + (16\sqrt{3})^2 = 256 + 256 \cdot 3 = 256 \cdot 4 = 1024$.
  $DA = \sqrt{1024} = 32$ см.
• Расстояние $DB$ найдем аналогично из $\triangle DCB$ (так как $AC=BC$):
  $DB^2 = DC^2 + BC^2 = 16^2 + (16\sqrt{3})^2 = 1024$.
  $DB = \sqrt{1024} = 32$ см.

Расстояния от точки E до вершин.

Поскольку прямая $l$ (содержащая $E$) перпендикулярна плоскости $(ABC)$, отрезок $OE$ перпендикулярен любому отрезку в этой плоскости, выходящему из точки $O$. Таким образом, треугольники $\triangle EOA$, $\triangle EOB$ и $\triangle EOC$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $O$.

Ранее мы нашли расстояния от ортоцентра $O$ до вершин: $OA = OB = OC = 16$ см. Расстояние $OE$ дано: $OE = 12$ см.

• Расстояние $EA$ найдем из прямоугольного $\triangle EOA$ по теореме Пифагора:
  $EA^2 = EO^2 + OA^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$.
  $EA = \sqrt{400} = 20$ см.
• Аналогично для $EB$ и $EC$:
  $EB^2 = EO^2 + OB^2 = 12^2 + 16^2 = 400 \implies EB = 20$ см.
  $EC^2 = EO^2 + OC^2 = 12^2 + 16^2 = 400 \implies EC = 20$ см.

Ответ: Расстояния от точки $D$ до вершин треугольника: $DA = 32$ см, $DB = 32$ см, $DC = 16$ см. Расстояния от точки $E$ до вершин треугольника: $EA = 20$ см, $EB = 20$ см, $EC = 20$ см.