Номер 216, страница 93 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

216. На ребре $HE$ четырёхугольной пирамиды $REFGH$, у которой боковое ребро $FR$ перпендикулярно плоскости основания, выбрана точка $A$ и на отрезках $AF$ и $AR$ отмечены их середины $B$ и $C$. Докажите, что прямая $BC$ перпендикулярна плоскости основания $EFGH$, и найдите угол между прямыми $BC$ и $GH$.

Докажите, что прямая BC перпендикулярна плоскости основания EFGH

Рассмотрим треугольник $AFR$. В этом треугольнике точка $A$ лежит на ребре $HE$ основания, точка $F$ является вершиной основания, а $R$ — вершиной пирамиды.

По условию задачи, точка $B$ — середина отрезка $AF$, а точка $C$ — середина отрезка $AR$.

Следовательно, по определению, отрезок $BC$ является средней линией треугольника $AFR$.

По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне. Таким образом, прямая $BC$ параллельна прямой $FR$ ($BC \parallel FR$).

В условии также дано, что боковое ребро $FR$ перпендикулярно плоскости основания $EFGH$, то есть $FR \perp (EFGH)$.

Воспользуемся теоремой: если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и вторая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Поскольку $BC \parallel FR$ и $FR \perp (EFGH)$, мы можем заключить, что прямая $BC$ также перпендикулярна плоскости $(EFGH)$.

Ответ: Доказано, что прямая BC перпендикулярна плоскости основания EFGH.

найдите угол между прямыми BC и GH

Угол между скрещивающимися прямыми $BC$ и $GH$ определяется как угол между пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным скрещивающимся прямым.

Как было доказано в первой части, прямая $BC$ параллельна прямой $FR$ ($BC \parallel FR$).

Следовательно, искомый угол между прямыми $BC$ и $GH$ равен углу между прямыми $FR$ и $GH$.

По условию задачи, прямая $FR$ перпендикулярна плоскости основания $(EFGH)$. По определению, прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Прямая $GH$ является стороной основания пирамиды и, значит, лежит в плоскости основания $(EFGH)$.

Из этого следует, что прямая $FR$ перпендикулярна прямой $GH$ ($FR \perp GH$).

Угол между перпендикулярными прямыми составляет $90^\circ$.

Соответственно, угол между прямыми $BC$ и $GH$ также равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.