Номер 219, страница 93 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

219. Через точки $A$ и $B$ проведены прямые, перпендикулярные плоскости $\alpha$ и пересекающие её в точках $A_1$ и $B_1$ соответственно. Найдите $A_1B_1$, учитывая, что $AB = 30$ см, $AA_1 = 43$ см, $BB_1 = 67$ см.

Поскольку прямые, проведенные через точки A и B, перпендикулярны плоскости $\alpha$, то отрезки $AA_1$ и $BB_1$ параллельны друг другу. Это следует из свойства, что две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны. Таким образом, точки A, B, $B_1$ и $A_1$ лежат в одной плоскости и образуют трапецию $AA_1B_1B$, в которой $AA_1$ и $BB_1$ являются параллельными основаниями.

Так как $AA_1 \perp \alpha$ и $BB_1 \perp \alpha$, а отрезок $A_1B_1$ лежит в плоскости $\alpha$, то $AA_1 \perp A_1B_1$ и $BB_1 \perp A_1B_1$. Следовательно, трапеция $AA_1B_1B$ является прямоугольной, а отрезок $A_1B_1$ — ее высота.

Для нахождения высоты $A_1B_1$ этой трапеции, проведем из точки A (вершина при меньшем основании) высоту AC на большее основание $BB_1$. В результате построения образуется прямоугольник $AA_1B_1C$ и прямоугольный треугольник $ACB$.

Из свойств прямоугольника $AA_1B_1C$ следует, что $AC = A_1B_1$ и $B_1C = AA_1 = 43$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACB$, в котором угол $\angle C = 90^\circ$. В этом треугольнике известны:

• гипотенуза $AB = 30$ см (боковая сторона трапеции);
• катет $BC$, который можно найти как разность длин оснований трапеции: $BC = BB_1 - B_1C = BB_1 - AA_1 = 67 - 43 = 24$ см;
• второй катет $AC$ равен искомому расстоянию $A_1B_1$.

Применим теорему Пифагора к треугольнику $ACB$:

$AB^2 = AC^2 + BC^2$

Выразим из формулы квадрат катета $AC$ и подставим известные значения:

$AC^2 = AB^2 - BC^2$

$AC^2 = 30^2 - 24^2 = 900 - 576 = 324$

$AC = \sqrt{324} = 18$ см.

Поскольку $A_1B_1 = AC$, искомое расстояние $A_1B_1$ равно 18 см.

(Примечание: данное решение предполагает, что точки A и B находятся по одну сторону от плоскости $\alpha$. Если бы они находились по разные стороны, то длина катета BC в аналогичном построении была бы равна сумме $AA_1 + BB_1 = 43 + 67 = 110$ см. Это невозможно, так как катет ($110$ см) не может быть длиннее гипотенузы ($30$ см). Следовательно, рассматриваемый случай является единственно возможным).

Ответ: 18 см.