Номер 212, страница 92 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

212. Определите, перпендикулярна ли прямая $l$ плоскости $\alpha$, учитывая, что на рисунке:

а) 229 параллельные прямые $a$ и $b$ лежат в плоскости $\alpha$ и прямая $l$ перпендикулярна им обеим;

б) 230 пересекающиеся прямые $c$ и $d$ лежат в плоскости $\alpha$ и прямая $l$ перпендикулярна им обеим;

в) 231 пересекающиеся прямые $m$ и $n$ лежат в плоскости $\alpha$ и прямая $l$ перпендикулярна им обеим;

г) 232 прямая $r$ перпендикулярна пересекающимся прямым $p$ и $q$ плоскости $\alpha$ и прямая $l$ параллельна прямой $r$.

а) По условию, прямые $a$ и $b$ лежат в плоскости $\alpha$ и параллельны друг другу ($a \parallel b$). Прямая $l$ перпендикулярна обеим этим прямым ($l \perp a$ и $l \perp b$).
Для того чтобы утверждать, что прямая перпендикулярна плоскости, необходимо использовать признак перпендикулярности прямой и плоскости. Он гласит: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
В данном случае прямые $a$ и $b$ параллельны, а не пересекаются. Следовательно, признак перпендикулярности прямой и плоскости неприменим. Из того, что прямая $l$ перпендикулярна двум параллельным прямым в плоскости $\alpha$, не следует, что она перпендикулярна самой плоскости $\alpha$.

Ответ: Нет, на основании данных условий нельзя однозначно утверждать, что прямая $l$ перпендикулярна плоскости $\alpha$.

б) По условию, прямые $c$ и $d$ лежат в плоскости $\alpha$ и пересекаются ($c \cap d = O$). Прямая $l$ перпендикулярна обеим этим прямым ($l \perp c$ и $l \perp d$).
Здесь выполнены все условия признака перпендикулярности прямой и плоскости: прямая $l$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($c$ и $d$), которые лежат в плоскости $\alpha$.
Следовательно, прямая $l$ перпендикулярна плоскости $\alpha$.

Ответ: Да, прямая $l$ перпендикулярна плоскости $\alpha$.

в) По условию, пересекающиеся прямые $m$ и $n$ лежат в плоскости $\alpha$ ($m \cap n = O$), и прямая $l$ перпендикулярна им обеим ($l \perp m$ и $l \perp n$).
Данная ситуация полностью аналогична случаю (б). Применяем признак перпендикулярности прямой и плоскости: так как прямая $l$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $m$ и $n$ в плоскости $\alpha$, то она перпендикулярна и самой плоскости $\alpha$.

Ответ: Да, прямая $l$ перпендикулярна плоскости $\alpha$.

г) По условию, прямая $r$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($r \perp \alpha$), а прямая $l$ параллельна прямой $r$ ($l \parallel r$).
Воспользуемся следующей теоремой: если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости.
Поскольку $l \parallel r$ и $r \perp \alpha$, то из этой теоремы напрямую следует, что прямая $l$ также перпендикулярна плоскости $\alpha$.

Ответ: Да, прямая $l$ перпендикулярна плоскости $\alpha$.