Номер 215, страница 93 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

215. Через концы $P$ и $Q$ отрезка $PQ$, параллельного плоскости $\gamma$, проведены прямые, перпендикулярные этой плоскости и пересекающие её в точках $P_1$ и $Q_1$. Докажите, что $PQ = P_1Q_1$.

Дано:

Отрезок $PQ$, плоскость $\gamma$. Отрезок $PQ$ параллелен плоскости $\gamma$ ($PQ \parallel \gamma$). Через концы отрезка, точки $P$ и $Q$, проведены прямые, перпендикулярные плоскости $\gamma$. Эти прямые пересекают плоскость $\gamma$ в точках $P_1$ и $Q_1$ соответственно. Таким образом, по построению имеем $PP_1 \perp \gamma$ и $QQ_1 \perp \gamma$.

Доказать:

$PQ = P_1Q_1$.

Доказательство:

1. Рассмотрим прямые $PP_1$ и $QQ_1$. По условию, обе прямые перпендикулярны одной и той же плоскости $\gamma$. Согласно теореме о двух прямых, перпендикулярных к одной плоскости, эти прямые параллельны друг другу. Таким образом, $PP_1 \parallel QQ_1$.

2. Две параллельные прямые $PP_1$ и $QQ_1$ однозначно определяют плоскость. Назовем эту плоскость $\beta$. Все четыре точки $P$, $Q$, $P_1$ и $Q_1$ лежат в этой плоскости $\beta$, следовательно, четырехугольник $PQQ_1P_1$ является плоской фигурой.

3. По условию, прямая, содержащая отрезок $PQ$, параллельна плоскости $\gamma$. Эта прямая лежит в плоскости $\beta$. Плоскость $\beta$ пересекает плоскость $\gamma$ по прямой $P_1Q_1$, так как точки $P_1$ и $Q_1$ принадлежат обеим плоскостям.

4. Согласно свойству параллельности прямой и плоскости: если плоскость ($\beta$), содержащая прямую ($PQ$), параллельную другой плоскости ($\gamma$), пересекает эту плоскость, то линия пересечения ($P_1Q_1$) параллельна исходной прямой ($PQ$). Отсюда следует, что $PQ \parallel P_1Q_1$.

5. Мы установили, что в четырехугольнике $PQQ_1P_1$ противоположные стороны попарно параллельны: $PP_1 \parallel QQ_1$ и $PQ \parallel P_1Q_1$. По определению, такой четырехугольник является параллелограммом.

6. Основное свойство параллелограмма заключается в том, что его противоположные стороны равны. Следовательно, $PQ = P_1Q_1$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $PQ = P_1Q_1$ доказано.