Номер 218, страница 93 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

218. Через точки $A$ и $B$ проведены прямые, перпендикулярные плоскости $\alpha$ и пересекающие её в точках $C$ и $D$ соответственно. Найдите расстояние между точками $A$ и $B$, учитывая, что $AC = 9$ м, $BD = 6$ м, $CD = 7,2$ м и отрезок $AB$ не пересекает плоскость $\alpha$.

Поскольку через точки A и B проведены прямые, перпендикулярные плоскости α, то отрезки AC и BD перпендикулярны этой плоскости. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны между собой. Следовательно, $AC \parallel BD$.

Так как прямые AC и BD параллельны, то точки A, B, C и D лежат в одной плоскости. Образованный четырёхугольник ACDB является трапецией, где AC и BD — параллельные основания.

Поскольку AC и BD перпендикулярны плоскости α, они перпендикулярны любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через их основания. В частности, $AC \perp CD$ и $BD \perp CD$. Это означает, что трапеция ACDB является прямоугольной с прямыми углами при вершинах C и D.

В условии сказано, что отрезок AB не пересекает плоскость α. Это значит, что точки A и B расположены по одну сторону от плоскости α.

Для нахождения расстояния AB (длины боковой стороны трапеции) проведём из точки B высоту BE к основанию AC. Так как $BE \perp AC$ и $AC \parallel BD$, то BE также является высотой трапеции. Четырёхугольник ECDВ является прямоугольником, поскольку у него все углы прямые ($∠C=90^\circ$, $∠D=90^\circ$, $∠E=90^\circ$).

Из свойств прямоугольника следует, что его противоположные стороны равны:
$BE = CD = 7,2$ м
$CE = BD = 6$ м

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABE, где AB — гипотенуза, а AE и BE — катеты. Найдём длину катета AE:
$AE = AC - CE = 9 - 6 = 3$ м

По теореме Пифагора для треугольника ABE:
$AB^2 = AE^2 + BE^2$

Подставим известные значения длин катетов:
$AB^2 = 3^2 + (7,2)^2$
$AB^2 = 9 + 51,84$
$AB^2 = 60,84$

Найдём длину AB, извлекая квадратный корень:
$AB = \sqrt{60,84} = 7,8$ м.

Ответ: 7,8 м.