Номер 224, страница 94 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

224. Из вершины $B$ треугольника $ABC$ проведён отрезок $BD$, перпендикулярный плоскости треугольника. Найдите длину этого отрезка, учитывая, что $DA = 13$ см, $DC = 15$ см, а сторона $BC$ длиннее стороны $BA$ на 4 см.

1. Анализ геометрической конфигурации и построение

По условию задачи, отрезок $BD$ проведен из вершины $B$ треугольника $ABC$ и перпендикулярен его плоскости. Обозначим плоскость треугольника как $(ABC)$. Таким образом, $BD \perp (ABC)$.

Из определения перпендикулярности прямой и плоскости следует, что прямая $BD$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $(ABC)$ и проходящей через точку $B$. В частности, это означает, что $BD \perp BA$ и $BD \perp BC$.

Следовательно, треугольники $DBA$ и $DBC$ являются прямоугольными, с прямым углом при вершине $B$ ($\angle DBA = 90^\circ$ и $\angle DBC = 90^\circ$). В $\triangle DBA$ катетами являются $BD$ и $BA$, а гипотенузой — $DA$. В $\triangle DBC$ катетами являются $BD$ и $BC$, а гипотенузой — $DC$.

2. Применение теоремы Пифагора и составление системы уравнений

Для двух полученных прямоугольных треугольников мы можем применить теорему Пифагора, которая гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Для $\triangle DBA$: $DA^2 = BD^2 + BA^2$.

Для $\triangle DBC$: $DC^2 = BD^2 + BC^2$.

Из условия задачи нам известны следующие данные:

• $DA = 13$ см
• $DC = 15$ см
• Сторона $BC$ длиннее стороны $BA$ на 4 см, то есть $BC = BA + 4$.

Обозначим искомую длину отрезка $BD$ за $h$, а длину стороны $BA$ за $x$. Тогда:

• $BD = h$
• $BA = x$
• $BC = x + 4$

Подставим эти значения в уравнения теоремы Пифагора. Мы получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными $h$ и $x$:$$ \begin{cases} 13^2 = h^2 + x^2 \\ 15^2 = h^2 + (x+4)^2 \end{cases} $$$$ \begin{cases} 169 = h^2 + x^2 \\ 225 = h^2 + (x+4)^2 \end{cases} $$

3. Решение системы уравнений

Для решения этой системы удобно выразить $h^2$ из первого уравнения:$$ h^2 = 169 - x^2 $$

Теперь подставим это выражение для $h^2$ во второе уравнение системы:$$ 225 = (169 - x^2) + (x+4)^2 $$

Раскроем скобки в правой части уравнения:$$ 225 = 169 - x^2 + x^2 + 8x + 16 $$

Члены $-x^2$ и $+x^2$ взаимно уничтожаются. Приведем подобные слагаемые:$$ 225 = 169 + 16 + 8x $$$$ 225 = 185 + 8x $$

Теперь найдем $8x$:$$ 8x = 225 - 185 $$$$ 8x = 40 $$

Отсюда находим значение $x$:$$ x = \frac{40}{8} = 5 $$

Таким образом, мы нашли длину стороны $BA$: $BA = 5$ см.

4. Нахождение длины отрезка BD

Зная значение $x=5$, мы можем вычислить искомую длину $h = BD$, используя выражение для $h^2$, которое мы получили ранее:$$ h^2 = 169 - x^2 $$

Подставим $x=5$ в это уравнение:$$ h^2 = 169 - 5^2 $$$$ h^2 = 169 - 25 $$$$ h^2 = 144 $$

Чтобы найти $h$, извлечем квадратный корень из 144. Так как длина отрезка является положительной величиной, нас интересует только арифметический корень:$$ h = \sqrt{144} = 12 $$

Следовательно, длина отрезка $BD$ равна 12 см.

Ответ: 12 см.