Номер 227, страница 94 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

227. Основанием прямоугольного параллелепипеда является прямоугольник с измерениями 9 см и 12 см, а диагональ параллелепипеда равна $15\sqrt{2}$ см. Найдите третье измерение параллелепипеда.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда равны $a$, $b$ и $c$. Согласно условию, измерения основания (прямоугольника) составляют $a = 9$ см и $b = 12$ см. Диагональ всего параллелепипеда равна $d = 15\sqrt{2}$ см. Требуется найти третье измерение — высоту $c$.

Связь между диагональю прямоугольного параллелепипеда и его тремя измерениями выражается теоремой, согласно которой квадрат диагонали равен сумме квадратов его длины, ширины и высоты: $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Подставим в эту формулу известные нам значения: $(15\sqrt{2})^2 = 9^2 + 12^2 + c^2$

Произведем вычисления для каждой части уравнения:

• Квадрат диагонали: $(15\sqrt{2})^2 = 15^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 225 \cdot 2 = 450$.
• Квадраты измерений основания: $9^2 = 81$ и $12^2 = 144$.

Теперь уравнение принимает вид: $450 = 81 + 144 + c^2$

Сложим квадраты известных измерений: $450 = 225 + c^2$

Выразим $c^2$, вычитая 225 из 450: $c^2 = 450 - 225$ $c^2 = 225$

Чтобы найти $c$, извлечем квадратный корень из 225. Поскольку длина ребра не может быть отрицательной, нас интересует только арифметический корень: $c = \sqrt{225} = 15$

Следовательно, третье измерение параллелепипеда равно 15 см.

Ответ: 15 см.