Номер 232, страница 95 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

232. Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны 12 см, 16 см и 28 см соответственно. Определите площадь сечения, проведённого через концы трёх рёбер, выходящих из одной вершины.

Пусть рёбра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны $a$, $b$ и $c$. Согласно условию задачи, их длины составляют:
$a = 12$ см
$b = 16$ см
$c = 28$ см

Сечение, проведённое через концы этих трёх рёбер, представляет собой треугольник. Вершины этого треугольника являются концами рёбер $a, b, c$ (не считая их общей вершины).

Стороны этого треугольника являются диагоналями граней прямоугольного параллелепипеда. Обозначим стороны треугольника как $d_1$, $d_2$ и $d_3$. Мы можем найти их длины с помощью теоремы Пифагора.

Первая сторона $d_1$ — это диагональ грани со сторонами $a$ и $b$:
$d_1 = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20$ см.

Вторая сторона $d_2$ — это диагональ грани со сторонами $b$ и $c$:
$d_2 = \sqrt{b^2 + c^2} = \sqrt{16^2 + 28^2} = \sqrt{256 + 784} = \sqrt{1040}$ см.

Третья сторона $d_3$ — это диагональ грани со сторонами $a$ и $c$:
$d_3 = \sqrt{a^2 + c^2} = \sqrt{12^2 + 28^2} = \sqrt{144 + 784} = \sqrt{928}$ см.

Теперь нам нужно найти площадь $S$ треугольника с известными сторонами $d_1, d_2, d_3$. Можно использовать формулу Герона, но существует более прямой способ для данного случая. Площадь такого сечения в прямоугольном параллелепипеде можно вычислить по формуле:
$S = \frac{1}{2}\sqrt{(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2}$

Подставим значения $a=12$, $b=16$ и $c=28$ в эту формулу. Сначала вычислим произведения:
$ab = 12 \cdot 16 = 192$
$bc = 16 \cdot 28 = 448$
$ca = 28 \cdot 12 = 336$

Теперь подставим эти значения в формулу для площади:
$S = \frac{1}{2}\sqrt{192^2 + 448^2 + 336^2}$
$S = \frac{1}{2}\sqrt{36864 + 200704 + 112896}$
$S = \frac{1}{2}\sqrt{350464}$

Вычислим корень:
$\sqrt{350464} = 592$

Теперь найдём площадь:
$S = \frac{1}{2} \cdot 592 = 296$ см$^2$.

Ответ: 296 см$^2$.