Номер 238, страница 95 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

238. На прямой, перпендикулярной плоскости треугольника $PQR$ и проходящей через вершину $P$, выбрана точка $A$. На отрезке, соединяющем середину стороны $QR$ с точкой $A$, отмечена такая точка $T$, что $AT : TP = 2 : 1$. Учитывая, что $G$ — центр тяжести треугольника $PQR$, найдите угол между прямыми:

а) $GT$ и $QR$;

б) $GT$ и $PQ$.

В условии задачи имеется неточность. Указано, что точка $T$ находится «на отрезке, соединяющем середину стороны $QR$ с точкой $A$», что означает принадлежность $T$ отрезку $AM$ (где $M$ — середина $QR$). Однако ее положение задано отношением $AT : TP = 2 : 1$, что подразумевает, что точки $A$, $T$, $P$ лежат на одной прямой. Так как эти два условия в общем случае противоречат друг другу, наиболее вероятной является опечатка в условии, и имелось в виду отношение $AT : TM = 2 : 1$. Ниже приведено решение задачи исходя из этого предположения.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Пусть $M$ — середина стороны $QR$. Положение точки $M$ можно выразить через положения точек $Q$ и $R$ с помощью векторов: $\vec{M} = \frac{1}{2}(\vec{Q} + \vec{R})$.

Точка $G$ — центр тяжести треугольника $PQR$. Ее положение выражается как среднее арифметическое положений вершин: $\vec{G} = \frac{1}{3}(\vec{P} + \vec{Q} + \vec{R})$.

Точка $T$ делит отрезок $AM$ в отношении $AT : TM = 2 : 1$. Ее положение можно найти по формуле деления отрезка в данном отношении:$\vec{T} = \frac{1 \cdot \vec{A} + 2 \cdot \vec{M}}{1 + 2} = \frac{1}{3}\vec{A} + \frac{2}{3}\vec{M}$. Подставим в это выражение формулу для $\vec{M}$:$\vec{T} = \frac{1}{3}\vec{A} + \frac{2}{3} \left( \frac{\vec{Q} + \vec{R}}{2} \right) = \frac{1}{3}\vec{A} + \frac{1}{3}(\vec{Q} + \vec{R}) = \frac{1}{3}(\vec{A} + \vec{Q} + \vec{R})$.

Теперь найдем вектор $\vec{GT}$, который определяет направление прямой $GT$:$\vec{GT} = \vec{T} - \vec{G} = \frac{1}{3}(\vec{A} + \vec{Q} + \vec{R}) - \frac{1}{3}(\vec{P} + \vec{Q} + \vec{R}) = \frac{1}{3}(\vec{A} - \vec{P}) = \frac{1}{3}\vec{PA}$.

Из соотношения $\vec{GT} = \frac{1}{3}\vec{PA}$ следует, что вектор $\vec{GT}$ коллинеарен вектору $\vec{PA}$, а значит, прямая $GT$ параллельна прямой $PA$.

По условию, прямая $PA$ перпендикулярна плоскости треугольника $PQR$. Так как $GT \parallel PA$, то и прямая $GT$ также перпендикулярна плоскости $(PQR)$.

Прямая $QR$ является одной из сторон треугольника и, следовательно, лежит в плоскости $(PQR)$. Поскольку прямая $GT$ перпендикулярна плоскости $(PQR)$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, включая $QR$. Таким образом, угол между прямыми $GT$ и $QR$ составляет $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

Аналогично, прямая $PQ$ также лежит в плоскости треугольника $(PQR)$. Так как прямая $GT$ перпендикулярна этой плоскости, она перпендикулярна и прямой $PQ$. Таким образом, угол между прямыми $GT$ и $PQ$ также равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.