Номер 231, страница 94 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

231. Есть прямоугольный параллелепипед $CDEFC_1D_1E_1F_1$, грань $CDEF$ которого является квадратом. Найдите площадь боковой поверхности четырёхугольной пирамиды $C_1CDEF$, учитывая, что $CD = 20$ мм, $CE_1 = 20 \sqrt{6}$ мм.

По условию, нам дан прямоугольный параллелепипед $CDEFC₁D₁E₁F₁$, основание которого $CDEF$ является квадратом. Сторона квадрата $CD = 20$ мм. Требуется найти площадь боковой поверхности пирамиды $C₁CDEF$, вершиной которой является точка $C₁$, а основанием — квадрат $CDEF$.

Площадь боковой поверхности этой пирамиды равна сумме площадей четырех треугольников, являющихся ее боковыми гранями: $S_{бок} = S_{ΔC₁CD} + S_{ΔC₁DE} + S_{ΔC₁EF} + S_{ΔC₁FC}$.

1. Найдем высоту параллелепипеда

Высотой параллелепипеда является ребро $CC₁$. Его длину можно найти, используя длину диагонали параллелепипеда $CE₁ = 20\sqrt{6}$ мм. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины и высоты). В нашем случае основание – квадрат, поэтому длина и ширина равны $CD = CF = 20$ мм. Обозначим высоту $CC₁$ как $h$.

$CE₁^2 = CD^2 + CF^2 + CC₁^2$

Подставим известные значения в формулу:
$(20\sqrt{6})^2 = 20^2 + 20^2 + h^2$
$400 \cdot 6 = 400 + 400 + h^2$
$2400 = 800 + h^2$
$h^2 = 2400 - 800 = 1600$
$h = \sqrt{1600} = 40$ мм.

Таким образом, высота параллелепипеда $CC₁$ равна $40$ мм.

2. Найдем площади боковых граней пирамиды

Грани $ΔC₁CD$ и $ΔC₁FC$. Так как параллелепипед прямоугольный, его боковое ребро $CC₁$ перпендикулярно плоскости основания $CDEF$. Из этого следует, что $CC₁ \perp CD$ и $CC₁ \perp CF$. Значит, треугольники $ΔC₁CD$ и $ΔC₁FC$ являются прямоугольными, с прямым углом при вершине $C$. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
$S_{ΔC₁CD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot CC₁ = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 40 = 400$ мм².
$S_{ΔC₁FC} = \frac{1}{2} \cdot CF \cdot CC₁ = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 40 = 400$ мм².

Грани $ΔC₁DE$ и $ΔC₁EF$. Рассмотрим грань $ΔC₁DE$. Сторона основания $DE = 20$ мм. Сторона $C₁D$ является диагональю боковой грани $CDD₁C₁$, которая представляет собой прямоугольник со сторонами $CD=20$ мм и $DD₁=CC₁=40$ мм. Найдем ее длину по теореме Пифагора:
$C₁D^2 = CD^2 + DD₁^2 = 20^2 + 40^2 = 400 + 1600 = 2000$.
$C₁D = \sqrt{2000} = \sqrt{400 \cdot 5} = 20\sqrt{5}$ мм.

Для определения типа треугольника $ΔC₁DE$ применим теорему о трех перпендикулярах. Линия $C₁D$ является наклонной к плоскости основания, а линия $CD$ — ее проекцией на эту плоскость. Так как основание $CDEF$ — квадрат, его стороны перпендикулярны, то есть $CD \perp DE$. Согласно теореме, если проекция наклонной перпендикулярна некоторой прямой в плоскости, то и сама наклонная перпендикулярна этой прямой. Следовательно, $C₁D \perp DE$.

Таким образом, $ΔC₁DE$ — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине $D$. Его площадь:
$S_{ΔC₁DE} = \frac{1}{2} \cdot DE \cdot C₁D = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 20\sqrt{5} = 200\sqrt{5}$ мм².

Аналогично для грани $ΔC₁EF$. Она равна грани $ΔC₁DE$, так как $EF = DE = 20$ мм, а $C₁F = C₁D = 20\sqrt{5}$ мм. По теореме о трех перпендикулярах ($C₁F \perp EF$), треугольник $ΔC₁EF$ также является прямоугольным. Его площадь:
$S_{ΔC₁EF} = \frac{1}{2} \cdot EF \cdot C₁F = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 20\sqrt{5} = 200\sqrt{5}$ мм².

3. Вычислим общую площадь боковой поверхности

Суммируем площади всех четырех граней:
$S_{бок} = S_{ΔC₁CD} + S_{ΔC₁FC} + S_{ΔC₁DE} + S_{ΔC₁EF}$
$S_{бок} = 400 + 400 + 200\sqrt{5} + 200\sqrt{5} = 800 + 400\sqrt{5}$ мм².

Для более компактной записи вынесем общий множитель:
$S_{бок} = 400(2 + \sqrt{5})$ мм².

Ответ: $400(2 + \sqrt{5})$ мм².