Номер 228, страница 94 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

228. Углы $A$ и $B$ треугольника $ABC$ вместе составляют $90^\circ$, а прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $ABC$. Докажите, что прямые $CD$ и $AC$ перпендикулярны.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$, следовательно, $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$. По условию задачи дано, что сумма углов $A$ и $B$ равна $90^\circ$: $\angle A + \angle B = 90^\circ$. Подставим это значение в формулу суммы углов треугольника: $90^\circ + \angle C = 180^\circ$ Из этого уравнения находим величину угла $C$: $\angle C = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ Так как угол $C$ прямой, треугольник $ABC$ является прямоугольным. Стороны $AC$ и $BC$, образующие прямой угол, взаимно перпендикулярны: $AC \perp BC$.

2. По условию, прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $ABC$. В данной пространственной конфигурации мы имеем:

• $BD$ — перпендикуляр, опущенный из точки $D$ на плоскость $ABC$.
• $CD$ — наклонная, проведенная из точки $D$ к плоскости $ABC$.
• $BC$ — проекция наклонной $CD$ на плоскость $ABC$.

3. Для доказательства перпендикулярности прямых $CD$ и $AC$ воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах. Теорема гласит: прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции, перпендикулярна и самой наклонной.

Применим эту теорему к нашей задаче:

• Прямая $AC$ лежит в плоскости $ABC$.
• Прямая $AC$ проходит через точку $C$, которая является основанием наклонной $CD$.
• Как мы установили в пункте 1, прямая $AC$ перпендикулярна проекции $BC$ ($AC \perp BC$).

Следовательно, по теореме о трех перпендикулярах, прямая $AC$ также перпендикулярна и самой наклонной $CD$. Таким образом, $CD \perp AC$.

Ответ: Что и требовалось доказать.