Номер 221, страница 93 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

221*. Через центр $O$ симметрии квадрата со стороной $a$ проведена прямая $l$, перпендикулярная плоскости квадрата. Найдите расстояние от вершины квадрата до точки $K$ прямой $l$, учитывая, что $OK = d$.

Пусть дан квадрат, назовем его $ABCD$, со стороной $a$. Центр симметрии квадрата $O$ — это точка пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$.

Согласно условию, через центр $O$ проведена прямая $l$, перпендикулярная плоскости квадрата. Это означает, что отрезок $OK$, где $K$ — точка на прямой $l$, перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости квадрата и проходящей через точку $O$. В частности, $OK$ перпендикулярен отрезку, соединяющему центр с любой из вершин квадрата, например, с вершиной $A$. Таким образом, $OK \perp OA$.

Следовательно, треугольник $\triangle AOK$ является прямоугольным, где $\angle AOK = 90^\circ$. Расстояние от вершины квадрата $A$ до точки $K$ — это длина гипотенузы $AK$ этого треугольника. Катетами являются отрезки $OA$ и $OK$.

Длина одного из катетов дана в условии: $OK = d$.

Найдем длину второго катета $OA$. Отрезок $OA$ представляет собой половину диагонали квадрата. Сначала вычислим длину всей диагонали $AC$ по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle ABC$:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$
$AC = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$
Так как диагонали в точке пересечения делятся пополам, то:
$OA = \frac{1}{2}AC = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Теперь, зная длины обоих катетов, мы можем найти длину гипотенузы $AK$ по теореме Пифагора для треугольника $\triangle AOK$:
$AK^2 = OA^2 + OK^2$
$AK^2 = \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 + d^2 = \frac{a^2 \cdot 2}{4} + d^2 = \frac{a^2}{2} + d^2$
$AK = \sqrt{\frac{a^2}{2} + d^2}$

Поскольку центр квадрата $O$ равноудален от всех его вершин ($OA = OB = OC = OD$), то расстояние от любой вершины до точки $K$ будет одинаковым.

Ответ: $\sqrt{\frac{a^2}{2} + d^2}$