Номер 214, страница 93 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

214. Точки L, M и O лежат на прямой, перпендикулярной плоскости $\alpha$, а точки O, B, C и D лежат в этой плоскости (рис. 234). Определите, является ли прямым угол:

a) $LOB$;

б) $MOC$;

в) $DLM$;

г) $DOL$;

д) $BMO$.

Рис. 233

Рис. 234

а) LOB; По условию, прямая, на которой лежат точки $L$, $M$ и $O$, перпендикулярна плоскости $\alpha$. Обозначим эту прямую как $l$. Точка $O$ является точкой пересечения прямой $l$ и плоскости $\alpha$. Точки $O$ и $B$ лежат в плоскости $\alpha$, следовательно, прямая $OB$ также лежит в плоскости $\alpha$. По определению прямой, перпендикулярной плоскости, прямая $l$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$ и проходящей через точку их пересечения. Таким образом, прямая $l$ перпендикулярна прямой $OB$. Угол между перпендикулярными прямыми равен $90^\circ$, поэтому $\angle LOB = 90^\circ$.
Ответ: Да, является.

б) MOC; Рассуждения аналогичны пункту а). Прямая $l$ (содержащая точки $L, M, O$) перпендикулярна плоскости $\alpha$. Прямая $OC$ лежит в плоскости $\alpha$ (так как точки $O$ и $C$ лежат в этой плоскости) и проходит через точку пересечения $O$. Следовательно, прямая $l$ перпендикулярна прямой $OC$. Это означает, что угол между ними, $\angle MOC$, равен $90^\circ$.
Ответ: Да, является.

в) DLM; Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle DOL$, в котором $\angle DOL = 90^\circ$, так как прямая $LM \perp$ плоскости $\alpha$, а прямая $OD$ лежит в этой плоскости. В этом треугольнике угол $\angle DLO$ является острым (при условии, что $D$ не совпадает с $O$). Точки $L, O, M$ лежат на одной прямой, и, судя по рисунку, $O$ находится между $L$ и $M$. Угол $\angle DLM$ образован отрезками $LD$ и $LM$. Угол $\angle DLO$ образован отрезками $LD$ и $LO$. Поскольку лучи $LO$ и $LM$ направлены в противоположные стороны, то $\angle DLO + \angle DLM = 180^\circ$. Так как $\angle DLO$ — острый, то $\angle DLM = 180^\circ - \angle DLO$ — тупой угол. Следовательно, он не является прямым.
Ответ: Нет, не является.

г) DOL; Прямая $LM$, содержащая отрезок $OL$, перпендикулярна плоскости $\alpha$. Прямая $OD$ лежит в плоскости $\alpha$ и проходит через точку пересечения $O$. По определению перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $LM$ перпендикулярна прямой $OD$. Следовательно, $\angle DOL = 90^\circ$.
Ответ: Да, является.

д) BMO; Рассмотрим треугольник $\triangle BMO$. Так как прямая $LM$ (содержащая отрезок $MO$) перпендикулярна плоскости $\alpha$, а прямая $BO$ лежит в этой плоскости, то $\angle BOM = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $\triangle BMO$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, значит $\angle BMO + \angle MBO + \angle BOM = 180^\circ$. Подставляя $\angle BOM = 90^\circ$, получаем $\angle BMO + \angle MBO = 90^\circ$. Если точки $B$ и $O$ не совпадают, то $\angle MBO > 0^\circ$, и, следовательно, $\angle BMO = 90^\circ - \angle MBO < 90^\circ$. Таким образом, угол $\angle BMO$ является острым.
Ответ: Нет, не является.