Номер 12, страница 90 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

12. Есть параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Верно ли, что:

a) если $\angle BAD = 90^\circ$, то $CD \perp B_1C_1$ и $AB \perp A_1D_1$;

б) если $AB \perp DD_1$, то $AB \perp CC_1$ и $DD_1 \perp A_1B_1$?

а) Проанализируем утверждение: если в параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ угол $\angle BAD = 90^\circ$, то $CD \perp B_1C_1$ и $AB \perp A_1D_1$.

Сначала проверим, верно ли, что $CD \perp B_1C_1$.
Прямые $CD$ и $B_1C_1$ являются скрещивающимися. По определению, угол между скрещивающимися прямыми равен углу между пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны исходным. По свойству параллелепипеда, его противоположные ребра параллельны. В данном случае: $CD \parallel AB$ (ребра одного основания) и $B_1C_1 \parallel AD$ (так как $B_1C_1 \parallel BC$ и $BC \parallel AD$). Следовательно, угол между прямыми $CD$ и $B_1C_1$ равен углу между пересекающимися в точке $A$ прямыми $AB$ и $AD$, то есть равен $\angle BAD$. По условию задачи $\angle BAD = 90^\circ$, из чего следует, что $CD \perp B_1C_1$. Первая часть утверждения верна.

Теперь проверим, верно ли, что $AB \perp A_1D_1$.
Прямые $AB$ и $A_1D_1$ также являются скрещивающимися. По свойству параллелепипеда $A_1D_1 \parallel AD$. Таким образом, угол между прямыми $AB$ и $A_1D_1$ равен углу между пересекающимися прямыми $AB$ и $AD$, то есть $\angle BAD$. Так как по условию $\angle BAD = 90^\circ$, то $AB \perp A_1D_1$. Вторая часть утверждения также верна.

Поскольку обе части верны, всё утверждение является верным.

Ответ: Да, верно.

б) Проанализируем утверждение: если в параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ребро $AB \perp DD_1$, то $AB \perp CC_1$ и $DD_1 \perp A_1B_1$.

Сначала проверим, верно ли, что $AB \perp CC_1$.
По свойству параллелепипеда, все его боковые ребра параллельны между собой, следовательно, $DD_1 \parallel CC_1$. В стереометрии есть теорема: если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй. По условию дано, что $AB \perp DD_1$. Так как $CC_1 \parallel DD_1$, из теоремы следует, что $AB \perp CC_1$. Первая часть утверждения верна.

Теперь проверим, верно ли, что $DD_1 \perp A_1B_1$.
По свойству параллелепипеда, его противоположные ребра оснований параллельны, то есть $A_1B_1 \parallel AB$. Условие $AB \perp DD_1$ можно записать как $DD_1 \perp AB$. Применяя ту же самую теорему, из $DD_1 \perp AB$ и $A_1B_1 \parallel AB$ следует, что $DD_1 \perp A_1B_1$. Вторая часть утверждения также верна.

Поскольку обе части верны, всё утверждение является верным.

Ответ: Да, верно.