Номер 8, страница 90 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

8. Сформулируйте утверждение о прямой, которая перпендикулярна данной прямой и проходит через данную точку.

Это утверждение является одной из ключевых теорем евклидовой геометрии, которая постулирует существование и единственность перпендикуляра к прямой, проведенного через заданную точку. Формулируется она следующим образом:

Через любую точку плоскости проходит прямая, перпендикулярная данной прямой, и притом только одна.

Для полного раскрытия этого утверждения необходимо рассмотреть два возможных случая взаимного расположения точки и прямой.

Случай 1: Данная точка лежит на данной прямой. Пусть дана прямая $a$ и точка $M$, которая лежит на этой прямой ($M \in a$). В этом случае существование перпендикуляра следует из аксиомы откладывания углов. От луча, который является частью прямой $a$ с началом в точке $M$, можно отложить в любую из двух полуплоскостей угол, равный 90°. Сторона этого угла, не лежащая на прямой $a$, будет лежать на искомой перпендикулярной прямой. Так как такой угол можно отложить единственным образом, то и перпендикулярная прямая будет единственной.

Случай 2: Данная точка не лежит на данной прямой. Пусть дана прямая $a$ и точка $M$, не лежащая на ней ($M \notin a$). Докажем существование и единственность перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на прямую $a$. Существование можно показать построением: проведя окружность с центром в $M$, пересекающую прямую $a$ в точках $A$ и $B$, мы получим равнобедренный треугольник $AMB$. Медиана этого треугольника, проведенная к основанию $AB$, будет являться и высотой, то есть перпендикуляром к прямой $a$. Единственность доказывается от противного. Предположим, что из точки $M$ к прямой $a$ можно провести два разных перпендикуляра, $MH_1$ и $MH_2$. Тогда в треугольнике $MH_1H_2$ будет два прямых угла (при вершинах $H_1$ и $H_2$), что противоречит теореме о сумме углов треугольника, которая гласит, что сумма углов треугольника равна 180°. Следовательно, перпендикуляр из точки к прямой единственен.

Таким образом, утверждение полностью доказано для любого расположения точки на плоскости относительно прямой.

Ответ: Через любую точку плоскости можно провести прямую, перпендикулярную данной прямой, и притом только одну.