Номер 1, страница 90 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

1. Какие прямые пространства называются перпендикулярными? Могут ли скрещивающиеся прямые быть перпендикулярными?

1. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен $90^\circ$.

Это определение является общим для любого взаимного расположения прямых в пространстве.

Для пересекающихся прямых угол между ними — это наименьший из углов, образованных в точке их пересечения.

Для скрещивающихся прямых (то есть прямых, которые не лежат в одной плоскости и не пересекаются) угол определяется следующим образом: через любую точку пространства $M$ проводятся две новые прямые, одна из которых параллельна первой скрещивающейся прямой, а другая — второй. Угол между этими новыми пересекающимися прямыми и принимается за угол между исходными скрещивающимися прямыми. Величина этого угла не зависит от выбора точки $M$.

Могут ли скрещивающиеся прямые быть перпендикулярными?

Да, могут. Исходя из определения, если угол между скрещивающимися прямыми, найденный по вышеописанному правилу, равен $90^\circ$, то такие прямые называются перпендикулярными.

Пример: Рассмотрим стандартный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Прямые, содержащие рёбра $AB$ и $CC_1$, являются скрещивающимися. Чтобы найти угол между ними, можно выбрать любую удобную точку, например $B$. Через точку $B$ уже проходит прямая $AB$. Проведём через точку $B$ прямую, параллельную $CC_1$. Такой прямой является ребро $BB_1$ (так как боковые грани куба — квадраты, и их стороны $CC_1$ и $BB_1$ параллельны). Теперь задача сводится к нахождению угла между пересекающимися прямыми $AB$ и $BB_1$. Так как $ABB_1A_1$ — это грань куба, которая является квадратом, угол $\angle ABB_1 = 90^\circ$. Следовательно, скрещивающиеся прямые $AB$ и $CC_1$ перпендикулярны.

Ответ: Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен $90^\circ$. Да, скрещивающиеся прямые могут быть перпендикулярными.