Номер 7, страница 84 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

7. Точка $E$ является точкой отрезка $TR$, который не пересекает плоскость $\gamma$.

Параллельные прямые, проведённые через точки $T$, $R$, $E$, пересекают плоскость $\gamma$ в точках $T_1$, $R_1$, $E_1$ соответственно. Докажите, что точки $T_1$, $R_1$, $E_1$ лежат на одной прямой, и найдите отрезок $EE_1$, учитывая, что $TT_1 = 16$ см, $RR_1 = 10$ см, $TE : RE = 1 : 2$.

Докажите, что точки T₁, R₁, E₁ лежат на одной прямой

По условию, прямые $TT_1$, $RR_1$ и $EE_1$ параллельны. Через две параллельные прямые $TT_1$ и $RR_1$ можно провести единственную плоскость. Назовем эту плоскость $\beta$.

Точки $T$ и $R$ принадлежат этой плоскости $\beta$, так как точка $T$ лежит на прямой $TT_1$, а точка $R$ — на прямой $RR_1$. Следовательно, вся прямая $TR$, проходящая через точки $T$ и $R$, также лежит в плоскости $\beta$.

Поскольку точка $E$ является точкой отрезка $TR$, она также принадлежит плоскости $\beta$.

Прямая $EE_1$ проходит через точку $E$ (которая лежит в плоскости $\beta$) и параллельна прямой $TT_1$ (которая также лежит в плоскости $\beta$). По свойству параллельных прямых и плоскостей, прямая $EE_1$ целиком лежит в плоскости $\beta$.

Таким образом, мы доказали, что все три параллельные прямые $TT_1$, $RR_1$ и $EE_1$ лежат в одной плоскости $\beta$.

Точки $T_1, R_1, E_1$ — это точки пересечения этих прямых с плоскостью $\gamma$. Это означает, что все три точки принадлежат как плоскости $\beta$, так и плоскости $\gamma$.

Линией пересечения двух различных плоскостей (в данном случае $\beta$ и $\gamma$) является прямая. Так как точки $T_1, R_1, E_1$ принадлежат обеим плоскостям, они должны лежать на этой общей прямой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Точки $T_1, R_1, E_1$ лежат на одной прямой, являющейся линией пересечения плоскости $\beta$, определенной параллельными прямыми, и плоскости $\gamma$.

Найдите отрезок EE₁, учитывая, что TT₁ = 16 см, RR₁ = 10 см, TE : RE = 1 : 2

Рассмотрим фигуру $T_1TRR_1$, расположенную в плоскости $\beta$. Так как $TT_1 \parallel RR_1$, эта фигура является трапецией, где $TT_1$ и $RR_1$ — ее основания, а $TR$ и $T_1R_1$ — боковые стороны. Отрезок $EE_1$ параллелен основаниям и соединяет боковые стороны трапеции.

Для нахождения длины $EE_1$ используем метод вспомогательных построений. Проведем через точку $R_1$ прямую, параллельную боковой стороне $TR$, до пересечения с прямыми $EE_1$ и $TT_1$ в точках $K$ и $M$ соответственно.

Рассмотрим четырехугольник $TRMR_1$. По построению $TR \parallel R_1M$. Стороны $TM$ и $RR_1$ лежат на параллельных прямых $TT_1$ и $RR_1$, следовательно $TM \parallel RR_1$. Значит, $TRMR_1$ — параллелограмм. Из свойства параллелограмма следует, что $TM = RR_1 = 10$ см.

Теперь рассмотрим четырехугольник $TMKE$. Его стороны $TM$ и $EK$ лежат на параллельных прямых $TT_1$ и $EE_1$, следовательно $TM \parallel EK$. Стороны $TE$ и $MK$ лежат на параллельных прямых $TR$ и $R_1M$, следовательно $TE \parallel MK$. Таким образом, $TMKE$ — также параллелограмм. Отсюда следует, что $EK = TM = 10$ см.

Найдем длину отрезка $MT_1$. Точка $M$ лежит на прямой $TT_1$. Длина отрезка $TT_1$ равна 16 см, а $TM$ равна 10 см. Следовательно, $MT_1 = |TT_1 - TM| = 16 - 10 = 6$ см.

Рассмотрим треугольник $\triangle MT_1R_1$. Отрезок $KE_1$ параллелен его стороне $MT_1$ (так как $EE_1 \parallel TT_1$). Следовательно, треугольник $\triangle KE_1R_1$ подобен треугольнику $\triangle MT_1R_1$ по двум углам.

Из подобия треугольников следует соотношение: $ \frac{KE_1}{MT_1} = \frac{R_1E_1}{R_1T_1} $

По теореме Фалеса для параллельных прямых $TT_1, EE_1, RR_1$ и секущей $TR$ дано отношение $\frac{TE}{RE} = \frac{1}{2}$. Эта же теорема для секущей $T_1R_1$ дает такое же отношение: $\frac{T_1E_1}{R_1E_1} = \frac{1}{2}$.

Из этого отношения находим: $R_1T_1 = R_1E_1 + T_1E_1 = R_1E_1 + \frac{1}{2}R_1E_1 = \frac{3}{2}R_1E_1$. Тогда $\frac{R_1E_1}{R_1T_1} = \frac{R_1E_1}{\frac{3}{2}R_1E_1} = \frac{2}{3}$.

Подставим известные значения в пропорцию из подобия треугольников: $ \frac{KE_1}{6} = \frac{2}{3} $

Отсюда $KE_1 = 6 \cdot \frac{2}{3} = 4$ см.

Искомый отрезок $EE_1$ состоит из двух частей: $EK$ и $KE_1$. $ EE_1 = EK + KE_1 = 10 + 4 = 14 $ см.

Ответ: 14 см.