Номер 1, страница 83 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

1. Определите, какие многоугольники могут получиться при пересечении плоскости и:

а) треугольной пирамиды;

б) четырёхугольной пирамиды.

а) Треугольная пирамида (тетраэдр) – это многогранник, у которого 4 грани, и все они являются треугольниками. Секущая плоскость пересекает многогранник по выпуклому многоугольнику. Количество сторон этого многоугольника равно количеству граней, которые пересекает плоскость. Так как у треугольной пирамиды 4 грани, максимальное число сторон у многоугольника в сечении равно 4.

Рассмотрим возможные варианты сечений:

Треугольник (3 стороны). Сечение будет треугольником, если плоскость пересекает ровно три грани пирамиды. Это происходит, например, если секущая плоскость параллельна одной из граней пирамиды. В этом случае фигурой сечения будет треугольник, подобный этой грани. Также треугольник получится, если плоскость пересекает три ребра, выходящие из одной вершины.

Четырёхугольник (4 стороны). Сечение будет четырёхугольником, если плоскость пересекает все четыре грани пирамиды. Это возможно, если плоскость пересекает, например, два ребра основания и два боковых ребра, не выходящих из одной вершины с ребрами основания. Классический пример такого сечения — плоскость, параллельная двум скрещивающимся ребрам пирамиды (например, ребру основания и противолежащему боковому ребру). В этом случае в сечении образуется параллелограмм.

Многоугольник с числом сторон больше четырёх (пятиугольник и т.д.) получить нельзя, так как у треугольной пирамиды всего 4 грани.

Ответ: треугольники и четырёхугольники.

б) Четырёхугольная пирамида имеет 5 граней: одна грань — основание (четырёхугольник) и четыре боковые грани (треугольники). Следовательно, максимальное возможное число сторон многоугольника, получаемого в сечении, равно 5.

Рассмотрим возможные варианты сечений:

Треугольник (3 стороны). Такое сечение можно получить, если плоскость проходит через вершину пирамиды и пересекает две смежные стороны её основания. Также треугольное сечение образуется, если плоскость отсекает один из углов при основании, пересекая три грани, которые сходятся в одной из вершин основания (две боковые грани и основание).

Четырёхугольник (4 стороны). Это один из наиболее распространённых случаев. Четырёхугольник получается, если секущая плоскость параллельна основанию пирамиды (в этом случае сечение будет четырёхугольником, подобным основанию). Также четырёхугольник может получиться, если плоскость пересекает четыре боковые грани (проходит "выше" основания и не пересекает его) или если она пересекает две боковые грани и две стороны основания.

Пятиугольник (5 сторон). Чтобы получить в сечении пятиугольник, секущая плоскость должна пересечь все пять граней пирамиды. Это произойдет, если плоскость пересечёт основание (пересекая две его стороны) и все четыре боковые грани.

Многоугольник с большим числом сторон (шестиугольник и т.д.) получить невозможно, поскольку у четырёхугольной пирамиды только 5 граней.

Ответ: треугольники, четырёхугольники и пятиугольники.