Номер 210, страница 83 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

210. Точка $A$ — середина ребра $PY$ треугольной пирамиды $PXYZ$, все рёбра которой равны $a$. Постройте точку пересечения с поверхностью пирамиды прямой $b$, которая проходит через точку $A$ и параллельна медиане $YR$ грани $XYZ$. Найдите длину отрезка этой прямой, размещённого внутри пирамиды.

Поскольку все ребра пирамиды $PXYZ$ равны $a$, она является правильным тетраэдром. Все ее грани, включая основание $XYZ$, являются равносторонними треугольниками со стороной $a$.

Построение точек пересечения

1. По условию, точка $A$ — середина ребра $PY$. Прямая $b$ проходит через точку $A$ и параллельна медиане $YR$ грани $XYZ$. Точка $R$ является основанием медианы $YR$, а значит, $R$ — середина ребра $XZ$.

2. Рассмотрим плоскость, в которой лежит треугольник $PYR$. Эта плоскость определяется тремя точками $P, Y, R$. Точка $A$ лежит на отрезке $PY$, следовательно, точка $A$ также лежит в плоскости $(PYR)$. Прямая $YR$ по определению лежит в этой же плоскости.

3. Прямая $b$ проходит через точку $A$, лежащую в плоскости $(PYR)$, и параллельна прямой $YR$, также лежащей в этой плоскости. Согласно аксиоме стереометрии, если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Но в нашем случае прямая $b$ имеет общую точку $A$ с плоскостью $(PYR)$ и параллельна прямой $YR$ в этой плоскости, следовательно, прямая $b$ целиком лежит в плоскости $(PYR)$.

4. Сечением пирамиды $PXYZ$ плоскостью $(PYR)$ является треугольник $PYR$. Так как прямая $b$ лежит в этой плоскости, ее отрезок внутри пирамиды будет совпадать с ее отрезком внутри треугольника $PYR$.

5. Одна точка пересечения прямой $b$ с поверхностью пирамиды уже известна — это точка $A$, так как она лежит на ребре $PY$.

6. Чтобы найти вторую точку пересечения, найдем, где прямая $b$ пересекает границу треугольника $PYR$. Прямая $b$ проходит через точку $A$ на стороне $PY$ и параллельна стороне $YR$. Следовательно, она должна пересечь третью сторону треугольника — отрезок $PR$. Обозначим эту точку пересечения как $B$.

7. Отрезок $PR$ является медианой грани $PXZ$ (так как $R$ — середина $XZ$). Таким образом, точка $B$ лежит на медиане $PR$ грани $PXZ$.

Ответ: Точками пересечения прямой $b$ с поверхностью пирамиды являются точка $A$ (середина ребра $PY$) и точка $B$, которая является точкой пересечения прямой $b$ с медианой $PR$ грани $PXZ$.

Нахождение длины отрезка

1. Отрезок прямой $b$, расположенный внутри пирамиды, — это отрезок $AB$.

2. Рассмотрим треугольник $PYR$. В нем проведена прямая $AB$, параллельная стороне $YR$, причем точка $A$ является серединой стороны $PY$. По теореме о пропорциональных отрезках (или из подобия треугольников $PAB$ и $PYR$), точка $B$ является серединой стороны $PR$, а отрезок $AB$ является средней линией треугольника $PYR$.

3. Длина средней линии треугольника равна половине длины основания, которому она параллельна. Таким образом, $AB = \frac{1}{2} YR$.

4. Найдем длину медианы $YR$ в равностороннем треугольнике $XYZ$ со стороной $a$. В равностороннем треугольнике медиана также является высотой. Из прямоугольного треугольника $YRZ$ (где $\angle YRZ = 90^\circ$, $YZ = a$, $ZR = \frac{a}{2}$) по теореме Пифагора:

$YR^2 = YZ^2 - ZR^2 = a^2 - (\frac{a}{2})^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$

$YR = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

5. Теперь найдем длину отрезка $AB$:

$AB = \frac{1}{2} YR = \frac{1}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{4}$

Ответ: Длина отрезка прямой, размещенного внутри пирамиды, равна $\frac{a\sqrt{3}}{4}$.