Номер 6, страница 84 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

6. Вершины $M$ и $N$ трапеции $MNLK$ с основаниями $NL$ и $KM$ принадлежат плоскости $\gamma$, а две другие вершины не принадлежат ей. Найдите расстояние от точки $M$ до точки пересечения прямой $KL$ с плоскостью $\gamma$, учитывая, что $MK = 8$ см, $MN = 5$ см, $NL = 6$ см.

По условию задачи, вершины M и N трапеции MNLK принадлежат плоскости γ. Это означает, что вся прямая MN, на которой лежит одна из боковых сторон трапеции, также целиком лежит в плоскости γ.

Прямые MN и KL, содержащие боковые стороны трапеции, лежат в одной плоскости (в плоскости трапеции). Поскольку основания NL и KM по определению трапеции параллельны, боковые стороны MN и KL не параллельны, а значит, они пересекаются в некоторой точке. Обозначим эту точку пересечения как P.

Так как точка P принадлежит прямой MN, а вся прямая MN лежит в плоскости γ, то точка P также принадлежит плоскости γ. Следовательно, P и есть искомая точка пересечения прямой KL с плоскостью γ. Таким образом, задача сводится к нахождению длины отрезка MP.

Рассмотрим треугольники △PNL и △PKM.

Поскольку основания трапеции NL и KM параллельны (NL || KM), то эти треугольники подобны. Докажем это:

• ∠P — является общим для обоих треугольников.
• ∠PNL = ∠PMK как соответственные углы при параллельных прямых NL и KM и секущей PM.

Следовательно, △PNL ~ △PKM по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон: $ \frac{PN}{PM} = \frac{PL}{PK} = \frac{NL}{KM} $

Для решения задачи воспользуемся соотношением: $ \frac{PN}{PM} = \frac{NL}{KM} $

Пусть искомое расстояние PM = x. Из условия нам даны длины: MN = 5 см, NL = 6 см, KM = 8 см. Точка N лежит на отрезке PM, поэтому длину отрезка PN можно выразить как PN = PM - MN = x - 5.

Подставим все известные значения в пропорцию: $ \frac{x - 5}{x} = \frac{6}{8} $

Сократим дробь в правой части уравнения: $ \frac{6}{8} = \frac{3}{4} $. $ \frac{x - 5}{x} = \frac{3}{4} $

Воспользуемся основным свойством пропорции (перекрёстное умножение): $ 4(x - 5) = 3x $

Раскроем скобки и решим уравнение: $ 4x - 20 = 3x $ $ 4x - 3x = 20 $ $ x = 20 $

Таким образом, искомое расстояние от точки M до точки пересечения прямой KL с плоскостью γ равно 20 см.

Ответ: 20 см.