Номер 8, страница 84 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

8. На отрезке $AB$ выбрана такая точка $C$, что $AB : BC = 4 : 3$. Через конец $B$ отрезка $AB$ проведена плоскость $\alpha$. Параллельно этой плоскости построен отрезок $CD$, равный $24$ см. Докажите, что прямая $AD$ пересекает плоскость $\alpha$ в некоторой точке $E$, и найдите отрезок $BE$.

Доказательство того, что прямая AD пересекает плоскость α.

1. Рассмотрим плоскость β, которая определяется прямой AB и точкой D. Это возможно, так как точка D не лежит на прямой AB. Если бы точка D лежала на прямой AB, то и отрезок CD лежал бы на этой прямой. По условию, через точку B проходит плоскость α, следовательно, прямая AB пересекает плоскость α в точке B (или лежит в ней). Если отрезок CD параллелен плоскости α (CD || α), то и прямая AB должна быть параллельна α. Это противоречит тому, что точка B прямой AB принадлежит плоскости α. Следовательно, точки A, B, D не лежат на одной прямой и задают единственную плоскость β.

2. Так как точка C лежит на отрезке AB, она также принадлежит плоскости β. Таким образом, все рассматриваемые элементы: отрезки AB, CD и прямая AD — лежат в одной плоскости β.

3. Плоскость β пересекает плоскость α. Точка B принадлежит обеим плоскостям, а значит, лежит на линии их пересечения. Обозначим линию пересечения плоскостей α и β как прямую l. Таким образом, B ∈ l.

4. По условию отрезок CD параллелен плоскости α (CD || α). Так как прямая CD лежит в плоскости β, а плоскость β пересекает плоскость α по прямой l, то по свойству параллельных прямой и плоскости, прямая CD параллельна прямой l (CD || l).

5. Теперь рассмотрим прямые AD и l в плоскости β. Прямая l проходит через точку B и параллельна CD. Прямая AD проходит через точки A и D. Так как точки A, C, D не лежат на одной прямой (иначе точки A,B,C,D были бы на одной прямой, что мы уже опровергли), прямые AD и CD не параллельны, а пересекаются в точке D.

6. Поскольку AD не параллельна CD, а l || CD, то прямая AD не может быть параллельна прямой l. Две непараллельные прямые, лежащие в одной плоскости, пересекаются. Обозначим точку их пересечения E.

7. Таким образом, прямая AD пересекает прямую l в точке E. Так как прямая l лежит в плоскости α, то точка E также принадлежит плоскости α. Следовательно, прямая AD пересекает плоскость α в точке E, что и требовалось доказать.

Нахождение отрезка BE.

Как было доказано выше, точки A, C, B, D, E лежат в одной плоскости β. В этой плоскости прямая BE параллельна прямой CD. Рассмотрим треугольники ΔACD и ΔABE.

Эти треугольники подобны по двум углам (первый признак подобия):

• ∠EAB — общий угол.
• ∠AEB = ∠ADC как соответственные углы при пересечении параллельных прямых BE и CD секущей AE.

Из подобия треугольников ΔABE ~ ΔACD следует пропорциональность их сторон: $$\frac{AB}{AC} = \frac{BE}{CD} = \frac{AE}{AD}$$

Найдём соотношение сторон AB и AC из условия задачи. Нам дано, что $AB : BC = 4 : 3$. Пусть коэффициент пропорциональности равен $x$, тогда $AB = 4x$ и $BC = 3x$. Так как точка C лежит на отрезке AB, то $AC = AB - BC$. $$AC = 4x - 3x = x$$ Тогда отношение $AB$ к $AC$ равно: $$\frac{AB}{AC} = \frac{4x}{x} = 4$$

Теперь, используя пропорцию из подобия треугольников и известные значения ($CD = 24$ см), найдём длину отрезка BE. $$\frac{AB}{AC} = \frac{BE}{CD}$$ $$4 = \frac{BE}{24}$$ Отсюда: $$BE = 4 \cdot 24 = 96 \text{ см}$$

Ответ: 96 см.