Номер 2, страница 83 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

2. Вне плоскости трапеции $ABCD$ с основанием $AD$ выбрана точка $T$. Докажите, что прямая $AD$ параллельна плоскости $BTC$.

По условию задачи дано, что $ABCD$ — это трапеция с основанием $AD$. Из определения трапеции следует, что её основания параллельны друг другу. Следовательно, прямая $AD$ параллельна прямой $BC$. В математической записи это выглядит как $AD \parallel BC$.

Далее, рассмотрим плоскость, проходящую через точки $B$, $T$ и $C$. Обозначим эту плоскость как $(BTC)$. По определению плоскости, проходящей через три точки, прямая $BC$ целиком лежит в этой плоскости, то есть $BC \subset (BTC)$.

Для доказательства утверждения задачи воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости. Этот признак гласит: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то эта прямая параллельна самой плоскости.

Применим этот признак к нашей задаче:
1. Прямая $AD$ не лежит в плоскости $(BTC)$. Если бы прямая $AD$ лежала в плоскости $(BTC)$, то точка $A$ принадлежала бы этой плоскости. Тогда точки $A, B, C, T$ были бы компланарны (лежали в одной плоскости). Это означало бы, что точка $T$ лежит в плоскости трапеции $ABCD$, что противоречит условию, согласно которому точка $T$ выбрана вне плоскости трапеции.
2. Прямая $AD$ параллельна прямой $BC$ ($AD \parallel BC$), как было установлено из определения трапеции.
3. Прямая $BC$ лежит в плоскости $(BTC)$.

Так как все условия признака параллельности прямой и плоскости выполнены, мы можем сделать вывод, что прямая $AD$ параллельна плоскости $(BTC)$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Прямая $AD$ параллельна плоскости $(BTC)$, так как она параллельна прямой $BC$, которая лежит в плоскости $(BTC)$.