Номер 4, страница 83 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

4. Точки $N$ и $M$ — середины диагоналей $BC_1$ и $BD$ соответствующих граней прямоугольного параллелепипеда $BCDEB_1C_1D_1E_1$. Найдите длину отрезка $MN$, учитывая, что $BE = 6$ см, $EE_1 = 8$ см.

Рассмотрим треугольник $BC_1D$.

По условию задачи, точка $N$ является серединой стороны $BC_1$, а точка $M$ является серединой стороны $BD$. Следовательно, отрезок $MN$ является средней линией треугольника $BC_1D$.

По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна её половине. Таким образом, чтобы найти длину $MN$, нам нужно найти длину отрезка $C_1D$ и разделить её на два:

$MN = \frac{1}{2} C_1D$

Теперь найдем длину отрезка $C_1D$. Так как $BCDEB_1C_1D_1E_1$ — прямоугольный параллелепипед, все его грани являются прямоугольниками, а боковые рёбра перпендикулярны основаниям.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CC_1D$. Этот треугольник является прямоугольным, так как ребро $CC_1$ перпендикулярно основанию $BCDE$, а значит, перпендикулярно и прямой $CD$, лежащей в этом основании. Катетами этого треугольника являются $CC_1$ и $CD$, а гипотенузой — $C_1D$.

Длина катета $CC_1$ равна высоте параллелепипеда. По условию, $EE_1 = 8$ см. Так как все боковые рёбра прямоугольного параллелепипеда равны, то $CC_1 = EE_1 = 8$ см.

Длина катета $CD$ является стороной основания $BCDE$. Так как основание является прямоугольником, его противоположные стороны равны. Следовательно, $CD = BE$. По условию $BE = 6$ см, значит $CD = 6$ см.

Теперь по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $CC_1D$ найдем длину гипотенузы $C_1D$:

$C_1D^2 = CC_1^2 + CD^2$

$C_1D^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$

$C_1D = \sqrt{100} = 10$ см.

Наконец, вернемся к отрезку $MN$ и вычислим его длину:

$MN = \frac{1}{2} C_1D = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см.

Ответ: 5 см.