Номер 9, страница 84 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

9. Дана прямая четырёхугольная призма $AJCD A_1J_1C_1D_1$, основанием которой является ромб со стороной 16 см и острым углом $60^\circ$. Постройте сечение призмы плоскостью, которая проходит через меньшую диагональ $J_1D_1$ ромба и середину ребра $AD$. Найдите периметр сечения, учитывая, что длина бокового ребра призмы равна 20 см.

Построение сечения

1. Основанием прямой призмы является ромб $AJCD$ со стороной $a=16$ см и острым углом $60^\circ$. Пусть острый угол ромба $\angle DAJ = 60^\circ$. Рассмотрим треугольник $\triangle DAJ$. Он является равнобедренным, так как его стороны $AD=AJ=16$ см. Поскольку угол между равными сторонами равен $60^\circ$, этот треугольник является равносторонним. Следовательно, его третья сторона $JD$, которая также является диагональю ромба, равна 16 см. Другая диагональ ромба, $AC$, проходит через тупой угол $\angle AJC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$, поэтому она длиннее диагонали $JD$. Таким образом, $JD$ — меньшая диагональ ромба. Соответственно, в верхнем основании $A_1J_1C_1D_1$ меньшей диагональю является $J_1D_1$, и её длина также равна 16 см.

2. Секущая плоскость по условию проходит через меньшую диагональ $J_1D_1$ и середину ребра $AD$. Обозначим середину ребра $AD$ точкой $K$. Таким образом, плоскость сечения определяется тремя точками: $J_1$, $D_1$ и $K$.

3. Поскольку точки $J_1$ и $D_1$ принадлежат секущей плоскости, отрезок $J_1D_1$ является стороной искомого сечения.

4. Плоскости оснований призмы $(AJCD)$ и $(A_1J_1C_1D_1)$ параллельны. Секущая плоскость пересекает эти параллельные плоскости по параллельным прямым. Линия пересечения с верхним основанием — это прямая $J_1D_1$. Следовательно, линия пересечения с нижним основанием должна проходить через точку $K$ и быть параллельной прямой $J_1D_1$.

5. Так как призма прямая, боковые ребра перпендикулярны основаниям, поэтому проекция диагонали $J_1D_1$ на нижнее основание — это диагональ $JD$. Значит, $J_1D_1 \parallel JD$. Следовательно, линия пересечения секущей плоскости с нижним основанием проходит через точку $K$ параллельно $JD$.

6. В треугольнике $\triangle AJD$ точка $K$ является серединой стороны $AD$. Прямая, проходящая через середину стороны треугольника параллельно другой его стороне, является средней линией. Эта средняя линия пересекает третью сторону $AJ$ в её середине. Обозначим эту точку как $L$. Таким образом, отрезок $LK$ является линией пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания, и $L$ — середина ребра $AJ$.

7. Соединив последовательно точки, получаем сечение — четырехугольник $LKD_1J_1$. Его стороны $LK$, $KD_1$, $D_1J_1$ и $J_1L$ лежат в плоскостях граней $AJCD$, $ADD_1A_1$, $A_1J_1C_1D_1$ и $AJJ_1A_1$ соответственно.

Ответ: Искомое сечение — это четырехугольник $LKD_1J_1$, где $K$ — середина ребра $AD$, а $L$ — середина ребра $AJ$. Так как $LK \parallel J_1D_1$, этот четырехугольник является трапецией.

Нахождение периметра сечения

Периметр $P$ трапеции $LKD_1J_1$ равен сумме длин ее сторон: $P = LK + KD_1 + D_1J_1 + J_1L$. Найдем длину каждой стороны.

1. Длина основания $D_1J_1$ равна длине меньшей диагонали ромба, то есть $D_1J_1 = 16$ см.

2. Длина другого основания $LK$ равна длине средней линии треугольника $\triangle AJD$, параллельной стороне $JD$. Так как $JD = 16$ см, то $LK = \frac{1}{2} JD = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$ см.

3. Длину боковой стороны $KD_1$ найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $\triangle KDD_1$ (угол $\angle KDD_1 = 90^\circ$, так как призма прямая). Катеты треугольника: $KD = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$ см и $DD_1 = 20$ см (длина бокового ребра).$KD_1 = \sqrt{KD^2 + DD_1^2} = \sqrt{8^2 + 20^2} = \sqrt{64 + 400} = \sqrt{464}$. Разложим подкоренное выражение на множители: $464 = 16 \cdot 29$. Таким образом, $KD_1 = \sqrt{16 \cdot 29} = 4\sqrt{29}$ см.

4. Длину боковой стороны $J_1L$ найдем аналогично из прямоугольного треугольника $\triangle LJJ_1$. Его катеты: $LJ = \frac{1}{2}AJ = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$ см и $JJ_1 = 20$ см.$J_1L = \sqrt{LJ^2 + JJ_1^2} = \sqrt{8^2 + 20^2} = \sqrt{464} = 4\sqrt{29}$ см. Поскольку $KD_1=J_1L$, трапеция является равнобокой.

5. Теперь вычислим периметр сечения, сложив длины всех его сторон:$P = D_1J_1 + LK + KD_1 + J_1L = 16 + 8 + 4\sqrt{29} + 4\sqrt{29} = 24 + 8\sqrt{29}$ см.

Ответ: Периметр сечения равен $24 + 8\sqrt{29}$ см.