Номер 3, страница 83 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

3. Точка $P$ лежит на продолжении ребра $MN$ параллелепипеда $LKM N L_1 K_1 M_1 N_1$. Найдите расстояние от точки $N$ до точки пересечения прямой $M_1 P$ с плоскостью $LL_1 N$, учитывая, что $MM_1 = 24 \text{ м}$, $NM = 12 \text{ м}$, $PM = 18 \text{ м}$.

Пусть $Q$ — точка пересечения прямой $M_1P$ с плоскостью $LL_1N$. Требуется найти расстояние $NQ$. Плоскость $LL_1N$ является диагональной плоскостью параллелепипеда, она также содержит точки $N_1$ и $L_1$, поэтому ее можно обозначить как $(LL_1N_1N)$. Точка $P$ лежит на продолжении ребра $MN$, следовательно, точки $M, N, P$ лежат на одной прямой. Прямая $M_1P$ и прямая $MN$ определяют плоскость, которая совпадает с плоскостью грани $MM_1N_1N$. Искомая точка пересечения $Q$ прямой $M_1P$ с плоскостью $(LL_1N_1N)$ должна лежать на линии пересечения плоскостей $(MM_1N_1N)$ и $(LL_1N_1N)$. Линией пересечения этих двух смежных граней является ребро $NN_1$. Следовательно, точка $Q$ — это точка пересечения прямой $M_1P$ и прямой $NN_1$.

Рассмотрим расположение точки $P$ на прямой $MN$. Дано, что $NM = 12$ м и $PM = 18$ м. Поскольку $P$ лежит на продолжении ребра $MN$ (что обычно означает продление за точку $N$), точка $N$ находится между точками $M$ и $P$. Таким образом, длины отрезков связаны соотношением $MP = MN + NP$. Отсюда находим длину отрезка $NP$:$NP = MP - MN = 18 - 12 = 6$ м.

Для нахождения длины отрезка $NQ$ рассмотрим подобные треугольники в плоскости грани $MM_1N_1N$. В этой плоскости лежат прямые $M_1P$ и $NN_1$, пересекающиеся в точке $Q$. Ребра параллелепипеда $MM_1$ и $NN_1$ параллельны. Следовательно, отрезки $MM_1$ и $NQ$ (где $Q$ лежит на прямой $NN_1$) также параллельны. Рассмотрим треугольники $\triangle PMM_1$ и $\triangle PNQ$. У этих треугольников:1. Угол $\angle P$ является общим.2. Углы $\angle PMM_1$ и $\angle PNQ$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $MM_1$ и $NQ$ и секущей $MP$. Следовательно, треугольники $\triangle PMM_1$ и $\triangle PNQ$ подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:$ \frac{NQ}{MM_1} = \frac{PN}{PM} $Подставим известные значения: $MM_1 = 24$ м, $PM = 18$ м, $PN = 6$ м.$ NQ = MM_1 \cdot \frac{PN}{PM} = 24 \cdot \frac{6}{18} = 24 \cdot \frac{1}{3} = 8 $ м. Таким образом, искомое расстояние от точки $N$ до точки пересечения равно 8 м.

Ответ: 8 м.