Номер 209, страница 83 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

209. Определите, какие многоугольники могут получиться при пересечении плоскости и:

а) треугольной призмы;

б) параллелепипеда.

а)

При пересечении трехгранной призмы плоскостью могут получиться многоугольники с числом сторон от 3 до 5. Секущая плоскость пересекает грани призмы, а отрезки, по которым она их пересекает, образуют стороны многоугольника в сечении. Число сторон многоугольника равно числу граней, которые пересекает плоскость. У треугольной призмы 5 граней (2 основания и 3 боковые грани).

• Треугольник (пересечение 3 граней).
  Такое сечение можно получить несколькими способами. Например, если секущая плоскость пересекает три боковые грани (такая плоскость будет параллельна основаниям призмы), в сечении будет треугольник, равный основаниям. Также треугольник получится, если плоскость пересекает три грани, сходящиеся в одной вершине (например, одно основание и две смежные с ним боковые грани).
• Четырехугольник (пересечение 4 граней).
  Четырехугольное сечение образуется, когда плоскость пересекает четыре грани призмы. Например, если плоскость пересекает оба основания и две из трех боковых граней. Другой случай — пересечение одного основания и всех трех боковых граней.
• Пятиугольник (пересечение 5 граней).
  Это возможно, если секущая плоскость пересекает все 5 граней призмы: оба основания и все три боковые грани. Такая плоскость должна быть наклонена так, чтобы "зацепить" ребра обоих оснований и все боковые грани. Например, если плоскость пересекает два ребра одного основания, затем последовательно три боковые грани, и наконец, ребро второго основания, которое не параллельно первым двум.

Ответ: треугольник, четырехугольник, пятиугольник.

б)

Параллелепипед — это многогранник с 6 гранями, которые являются параллелограммами. Любая секущая плоскость может пересекать от 3 до 6 граней параллелепипеда, образуя в сечении соответствующий многоугольник.

• Треугольник (пересечение 3 граней).
  Если секущая плоскость «отсекает» одну из вершин параллелепипеда, она пересекает три грани, сходящиеся в этой вершине. В сечении получается треугольник.
• Четырехугольник (пересечение 4 граней).
  Если плоскость параллельна одной из пар противоположных граней (например, основаниям), она пересечет остальные четыре боковые грани, и в сечении получится параллелограмм. Четырехугольник также получится, если плоскость пересекает, например, верхнее и нижнее основания и две смежные боковые грани.
• Пятиугольник (пересечение 5 граней).
  Если плоскость пересекает пять из шести граней параллелепипеда. Например, плоскость может пересекать одно из оснований и четыре боковые грани. Такое сечение можно представить как плоскость, которая "срезает угол", но проходит достаточно глубоко, чтобы пересечь не три, а пять граней.
• Шестиугольник (пересечение 6 граней).
  Если плоскость не параллельна ни одной из граней и проходит через внутреннюю область параллелепипеда, она пересечет все 6 граней. В сечении получится шестиугольник. Классический пример для куба (частного случая параллелепипеда) — сечение, проходящее через середины шести ребер, образует правильный шестиугольник.

Ответ: треугольник, четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник.