Номер 202, страница 82 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

202. Прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$. Определите, существуют ли плоскости, которые проходят через прямую $a$ и параллельны плоскости $\alpha$, и если существуют, то сколько таких плоскостей.

Для решения этой задачи необходимо ответить на два вопроса: существует ли такая плоскость и если да, то сколько их. Мы докажем сначала существование, а затем единственность такой плоскости.

Доказательство существования

По условию, прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$). Это означает, что прямая $a$ и плоскость $\alpha$ не имеют общих точек.

1. Выберем на прямой $a$ произвольную точку $M$. Так как $a \parallel \alpha$, точка $M$ не принадлежит плоскости $\alpha$ ($M \notin \alpha$).

2. Согласно теореме о существовании и единственности плоскости, проходящей через данную точку параллельно данной плоскости, через точку $M$ можно провести плоскость $\beta$, параллельную плоскости $\alpha$ ($\beta \parallel \alpha$).

3. Теперь докажем, что прямая $a$ целиком лежит в построенной плоскости $\beta$ ($a \subset \beta$). Мы знаем, что у прямой $a$ и плоскости $\beta$ есть как минимум одна общая точка $M$. Предположим, что прямая $a$ не лежит в плоскости $\beta$. Тогда она должна пересекать плоскость $\beta$ в одной-единственной точке $M$.

4. Но из свойства параллельных плоскостей известно, что если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей (в нашем случае $\beta$), то она обязана пересекать и вторую (в нашем случае $\alpha$). Это бы означало, что прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$.

5. Однако это противоречит исходному условию задачи, согласно которому $a \parallel \alpha$. Следовательно, наше предположение о том, что прямая $a$ пересекает плоскость $\beta$, неверно.

6. Поскольку прямая $a$ и плоскость $\beta$ имеют общую точку $M$ и при этом не пересекаются, прямая $a$ должна полностью лежать в плоскости $\beta$.

Таким образом, мы доказали, что плоскость, проходящая через прямую $a$ и параллельная плоскости $\alpha$, существует.

Доказательство единственности

1. Предположим, что существует другая плоскость, назовем ее $\gamma$, которая также проходит через прямую $a$ и параллельна плоскости $\alpha$. То есть, $a \subset \gamma$ и $\gamma \parallel \alpha$.

2. Как и в доказательстве существования, выберем любую точку $M$ на прямой $a$. Так как прямая $a$ по нашему предположению лежит и в плоскости $\beta$, и в плоскости $\gamma$, то точка $M$ принадлежит обеим этим плоскостям.

3. Таким образом, мы имеем две плоскости ($\beta$ и $\gamma$), которые обе проходят через точку $M$ и обе параллельны плоскости $\alpha$.

4. Однако, согласно той же самой теореме, через точку, не лежащую в плоскости, проходит только одна плоскость, параллельная данной. Следовательно, плоскости $\beta$ и $\gamma$ должны совпадать.

5. Это доказывает, что искомая плоскость единственна.

Ответ: да, такая плоскость существует, и она только одна.