Номер 199, страница 82 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

199. Средняя линия трапеции лежит в плоскости $ \beta $. Определите, какие стороны трапеции пересекают плоскость $ \beta $.

Пусть дана трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, а $AB$ и $CD$ — боковые стороны. Пусть $M$ — середина стороны $AB$, а $N$ — середина стороны $CD$. Тогда отрезок $MN$ является средней линией трапеции.

По условию задачи, средняя линия $MN$ лежит в плоскости $\beta$. Это означает, что все точки отрезка $MN$, включая его концы $M$ и $N$, принадлежат плоскости $\beta$.

Рассмотрим взаимное расположение сторон трапеции и плоскости $\beta$.

Сначала проанализируем основания трапеции ($AD$ и $BC$). По свойству средней линии, она параллельна основаниям: $MN \parallel AD$ и $MN \parallel BC$. Согласно признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости. Так как $AD \parallel MN$ и $MN$ лежит в $\beta$, то прямая $AD$ параллельна плоскости $\beta$. Мы исключаем случай, когда вся трапеция лежит в плоскости $\beta$, так как тогда ни одна сторона её не пересекает, а лежит в ней. Аналогично, $BC \parallel MN$, следовательно, прямая $BC$ параллельна плоскости $\beta$. Прямые, параллельные плоскости, не пересекают её. Значит, основания трапеции не пересекают плоскость $\beta$.

Теперь рассмотрим боковые стороны трапеции ($AB$ и $CD$). Боковая сторона $AB$ проходит через точку $M$, которая является её серединой и, по условию, лежит в плоскости $\beta$. Прямая, содержащая сторону $AB$, имеет с плоскостью $\beta$ общую точку $M$. Такая прямая может либо пересекать плоскость в этой точке, либо целиком лежать в плоскости. Если бы прямая $AB$ лежала в плоскости $\beta$, то точка $A$ (конец стороны $AB$) также лежала бы в $\beta$. Но точка $A$ принадлежит основанию $AD$, которое, как мы установили, параллельно плоскости $\beta$ (и не лежит в ней). Это привело бы к тому, что вся прямая $AD$ должна лежать в плоскости $\beta$, что возвращает нас к случаю, когда вся трапеция лежит в плоскости. Следовательно, прямая $AB$ не лежит в плоскости $\beta$ и не параллельна ей (так как имеет общую точку $M$). Значит, прямая $AB$ пересекает плоскость $\beta$ в единственной точке $M$. Поскольку точка $M$ является внутренней точкой отрезка $AB$, то боковая сторона $AB$ пересекает плоскость $\beta$.

Аналогичные рассуждения верны и для боковой стороны $CD$. Она проходит через точку $N$, которая лежит в плоскости $\beta$. По тем же причинам, что и для стороны $AB$, прямая $CD$ пересекает плоскость $\beta$ в точке $N$. Следовательно, боковая сторона $CD$ также пересекает плоскость $\beta$.

Ответ: плоскость $\beta$ пересекают боковые стороны трапеции.