Номер 195, страница 82 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

195. Отрезок $PE$ — общая медиана треугольников $QPS$ и $TPA$, а точки $K, L, M, N$ — середины отрезков $PS, PA, ET, EQ$. Докажите, что прямые $KL$ и $MN$ параллельны.

Для доказательства параллельности прямых $KL$ и $MN$ воспользуемся свойством средней линии треугольника и признаком параллелограмма.

1. Рассмотрим $\triangle PSA$. По условию, точка $K$ является серединой отрезка $PS$, а точка $L$ — серединой отрезка $PA$. Следовательно, отрезок $KL$ — это средняя линия треугольника $PSA$. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне треугольника. Таким образом, $KL \parallel SA$.

2. Теперь рассмотрим $\triangle ETQ$. По условию, точка $M$ является серединой отрезка $ET$, а точка $N$ — серединой отрезка $EQ$. Следовательно, отрезок $MN$ — это средняя линия треугольника $ETQ$. По тому же свойству, $MN \parallel TQ$.

3. По условию задачи, отрезок $PE$ является общей медианой для треугольников $QPS$ и $TPA$. Это означает, что точка $E$ является серединой стороны $QS$ в $\triangle QPS$ и одновременно серединой стороны $TA$ в $\triangle TPA$.

4. Рассмотрим четырехугольник $QATS$. Отрезки $QS$ и $TA$ являются его диагоналями. Так как они пересекаются в точке $E$ и делятся этой точкой пополам ($QE = ES$ и $TE = EA$), то четырехугольник $QATS$ является параллелограммом (по признаку параллелограмма). У параллелограмма противоположные стороны параллельны, следовательно, $SA \parallel TQ$.

5. Сопоставим полученные выводы. Мы установили, что $KL \parallel SA$ и $MN \parallel TQ$. Также мы доказали, что $SA \parallel TQ$. Так как прямая $KL$ параллельна прямой $SA$, а прямая $SA$ параллельна прямой $TQ$, то по свойству транзитивности параллельных прямых $KL \parallel TQ$. Поскольку обе прямые $KL$ и $MN$ параллельны одной и той же прямой $TQ$, они параллельны и между собой. То есть, $KL \parallel MN$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Прямые $KL$ и $MN$ параллельны, так как каждая из них параллельна одной из противоположных сторон ($SA$ и $TQ$) параллелограмма $QATS$. А так как эти стороны параллельны между собой, то и прямые $KL$ и $MN$ параллельны друг другу.