Номер 190, страница 81 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

190*. Площадь сечения пирамиды плоскостью $\alpha$, проходящей через точку на боковом ребре и параллельной основанию, равна $5 \text{ см}^2$. Определите, в каком отношении плоскость $\alpha$ делит боковое ребро пирамиды, учитывая, что площадь основания равна $80 \text{ см}^2$.

Пусть $S_{сеч}$ — площадь сечения пирамиды, а $S_{осн}$ — площадь основания.

Согласно условию задачи, нам даны значения этих площадей:

$S_{сеч} = 5 \text{ см}^2$

$S_{осн} = 80 \text{ см}^2$

Сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, отсекает от нее меньшую пирамиду, которая подобна исходной. Важным свойством подобных фигур является то, что отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия $k$. В контексте пирамиды, коэффициент подобия — это отношение соответствующих линейных размеров, таких как высоты или боковые ребра, отсчитываемые от вершины.

Математически это можно выразить так:

$\frac{S_{сеч}}{S_{осн}} = k^2$

Подставим в эту формулу известные значения площадей, чтобы найти квадрат коэффициента подобия:

$k^2 = \frac{5}{80} = \frac{1}{16}$

Теперь вычислим сам коэффициент подобия $k$, взяв квадратный корень:

$k = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$

Коэффициент подобия $k$ также равен отношению длины бокового ребра усеченной (верхней) пирамиды к длине бокового ребра всей исходной пирамиды. Обозначим вершину пирамиды буквой $S$. Пусть боковое ребро исходной пирамиды — это отрезок $SA$, а точка, в которой плоскость $\alpha$ пересекает это ребро, — точка $M$. Тогда боковое ребро меньшей пирамиды — это отрезок $SM$.

Следовательно, мы можем записать:

$\frac{SM}{SA} = k = \frac{1}{4}$

Из этого соотношения следует, что $SM = \frac{1}{4}SA$.

Плоскость $\alpha$ делит боковое ребро $SA$ на два отрезка: $SM$ (часть от вершины до секущей плоскости) и $MA$ (часть от секущей плоскости до основания). Найдем длину отрезка $MA$:

$MA = SA - SM = SA - \frac{1}{4}SA = \frac{3}{4}SA$

Теперь мы можем найти искомое отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит боковое ребро. Это отношение длин отрезков $SM$ и $MA$:

$\frac{SM}{MA} = \frac{\frac{1}{4}SA}{\frac{3}{4}SA} = \frac{1/4}{3/4} = \frac{1}{3}$

Таким образом, плоскость сечения делит боковое ребро в отношении 1:3, если считать от вершины пирамиды.

Ответ: 1:3.