Номер 185, страница 80 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

185. Имеется прямая четырёхугольная призма $AJCD A_1J_1C_1D_1$, основанием которой является ромб со стороной 18 см и острым углом $60^\circ$. Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через меньшую диагональ $J_1D_1$ ромба и середину ребра $AD$. Найдите периметр сечения, учитывая, что длина бокового ребра призмы равна 40 см.

1. Построение сечения

Основанием прямой призмы является ромб AJCD со стороной $a = 18$ см и острым углом $\angle JAD = 60^\circ$.

Сначала определим, какая из диагоналей ромба является меньшей. Рассмотрим треугольник AJD, образованный двумя сторонами ромба и одной из его диагоналей. Он равнобедренный, так как $AJ = AD = 18$ см. Угол между этими сторонами $\angle JAD = 60^\circ$, следовательно, $\triangle AJD$ является равносторонним. Это означает, что диагональ $JD = 18$ см. Другая диагональ, AC, лежит напротив тупого угла ромба ($180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$) и, следовательно, является большей. Таким образом, диагональ, указанная в условии, $J_1D_1$, является меньшей диагональю верхнего основания.

Секущая плоскость проходит через диагональ $J_1D_1$ и середину ребра AD. Обозначим середину ребра AD точкой M.

Плоскости верхнего и нижнего оснований призмы параллельны. Секущая плоскость пересекает плоскость верхнего основания по прямой $J_1D_1$. Согласно свойству, если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения параллельны. Следовательно, секущая плоскость пересечет плоскость нижнего основания по прямой, параллельной $J_1D_1$.

Так как призма прямая, диагональ нижнего основания JD параллельна диагонали верхнего основания $J_1D_1$. Значит, в плоскости нижнего основания нужно провести прямую через точку M параллельно диагонали JD. Пусть эта прямая пересекает ребро AJ в точке K.

В треугольнике AJD отрезок MK параллелен стороне JD и соединяет середину стороны AD (точку M) с точкой K на стороне AJ. По свойству средней линии треугольника, отрезок MK является средней линией $\triangle AJD$. Это значит, что точка K — середина стороны AJ.

Таким образом, искомым сечением является четырехугольник, образованный точками $J_1, D_1, M$ и $K$. Поскольку стороны $MK$ и $J_1D_1$ параллельны, сечение $J_1D_1MK$ является трапецией.

2. Нахождение периметра сечения

Периметр трапеции $J_1D_1MK$ равен сумме длин её сторон: $P = J_1D_1 + D_1M + MK + KJ_1$. Найдем длину каждой из сторон.

Длина большего основания трапеции $J_1D_1$ равна длине меньшей диагонали ромба: $J_1D_1 = 18$ см.

Длина меньшего основания MK, являющегося средней линией $\triangle AJD$, равна половине длины стороны JD: $MK = \frac{1}{2} JD = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9$ см.

Длину боковой стороны $D_1M$ найдем из прямоугольного треугольника $MDD_1$. Так как призма прямая, боковое ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания, а значит, и прямой MD в этой плоскости. Длина бокового ребра призмы по условию равна $DD_1 = 40$ см. Длина отрезка MD — это половина стороны ромба AD: $MD = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9$ см. По теореме Пифагора:
$D_1M = \sqrt{MD^2 + DD_1^2} = \sqrt{9^2 + 40^2} = \sqrt{81 + 1600} = \sqrt{1681} = 41$ см.

Длину второй боковой стороны $KJ_1$ найдем аналогично из прямоугольного треугольника $KJJ_1$. Катет $JJ_1 = 40$ см. Катет KJ — это половина стороны ромба AJ: $KJ = \frac{1}{2} AJ = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9$ см. По теореме Пифагора:
$KJ_1 = \sqrt{KJ^2 + JJ_1^2} = \sqrt{9^2 + 40^2} = \sqrt{81 + 1600} = \sqrt{1681} = 41$ см.

Поскольку боковые стороны $D_1M$ и $KJ_1$ равны, трапеция $J_1D_1MK$ является равнобокой.

Теперь вычислим периметр сечения:
$P = J_1D_1 + MK + D_1M + KJ_1 = 18 + 9 + 41 + 41 = 109$ см.

Ответ: периметр сечения равен 109 см.