Номер 182, страница 80 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

182. Сечение пирамиды, параллельное основанию, делит боковое ребро в отношении 2 : 3, если считать от вершины. Найдите площадь сечения, учитывая, что его площадь на $336 \text{ см}^2$ меньше площади основания.

Пусть $S_{осн}$ — площадь основания пирамиды, а $S_{сеч}$ — площадь сечения. Сечение, параллельное основанию, отсекает от исходной пирамиды меньшую пирамиду, подобную исходной.

Коэффициент подобия $k$ этих пирамид равен отношению их высот или боковых ребер. По условию, сечение делит боковое ребро в отношении 2:3, считая от вершины. Это значит, что боковое ребро отсеченной (меньшей) пирамиды составляет 2 части, а все боковое ребро исходной пирамиды состоит из $2+3=5$ таких же частей.

Следовательно, коэффициент подобия $k$ равен отношению длины ребра меньшей пирамиды к длине ребра большей пирамиды: $k = \frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Площадь сечения $S_{сеч}$ и площадь основания $S_{осн}$ относятся как $k^2$: $\frac{S_{сеч}}{S_{осн}} = k^2 = \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25}$

Из этого соотношения можно выразить площадь основания через площадь сечения: $S_{осн} = \frac{25}{4} S_{сеч}$

Также по условию известно, что площадь сечения на 336 см² меньше площади основания: $S_{осн} - S_{сеч} = 336$

Подставим выражение для $S_{осн}$ в это уравнение: $\frac{25}{4}S_{сеч} - S_{сеч} = 336$

Приведем левую часть к общему знаменателю и решим уравнение: $\frac{25}{4}S_{сеч} - \frac{4}{4}S_{сеч} = 336$ $\frac{21}{4}S_{сеч} = 336$ $S_{сеч} = 336 \cdot \frac{4}{21}$

Вычислим значение $S_{сеч}$: $S_{сеч} = \frac{336}{21} \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64$ см²

Ответ: 64 см².