Номер 175, страница 79 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

175. Начертите параллелепипед $MNKLM_1N_1K_1L_1$ и отметьте середины $A$ и $B$ рёбер $NN_1$ и $LL_1$. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку $B$ и параллельной плоскости $MAK$. Постройте отрезок, по которому это сечение пересекает диагональное сечение $NLL_1N_1$.

Начертим параллелепипед $MNKLM_1N_1K_1L_1$. Отметим точку A как середину ребра $NN_1$ и точку B как середину ребра $LL_1$.

Построение сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку B и параллельной плоскости MAK

Обозначим искомую секущую плоскость как $\alpha$, а плоскость, заданную точками M, A, K, как $\beta$. По условию, плоскость $\alpha$ проходит через точку B и параллельна плоскости $\beta$.

1. Воспользуемся свойством центральной симметрии параллелепипеда. Параллелепипед — центрально-симметричная фигура. Центр симметрии O является серединой любой его большой диагонали, например, $MK_1$.

2. При центральной симметрии относительно точки O плоскость переходит в параллельную ей плоскость. Найдем образы точек M, A, K, определяющих плоскость $\beta$:

• Вершина M симметрична вершине $K_1$.
• Вершина K симметрична вершине $M_1$.
• Точка A — середина ребра $NN_1$. Ребро $NN_1$ симметрично ребру $LL_1$, а середина ребра переходит в середину симметричного ребра. Следовательно, точка A симметрична точке B (середине $LL_1$).

3. Таким образом, образом плоскости $\beta = (MAK)$ при центральной симметрии является плоскость $(K_1M_1B)$. Так как плоскость-образ параллельна плоскости-прообразу, то $(K_1M_1B) \parallel (MAK)$.

4. Искомая плоскость $\alpha$ проходит через точку B и параллельна $(MAK)$. Следовательно, плоскость $\alpha$ и есть плоскость $(K_1M_1B)$.

5. Теперь построим сечение параллелепипеда этой плоскостью. Сечение — это многоугольник, стороны которого являются линиями пересечения плоскости $\alpha$ с гранями параллелепипеда.

• Плоскость $\alpha$ содержит точки $M_1$ и B, которые лежат на грани $MLL_1M_1$. Следовательно, одна из сторон сечения — отрезок $M_1B$.
• Плоскость $\alpha$ содержит точки B и $K_1$, которые лежат на грани $KLL_1K_1$. Следовательно, другая сторона сечения — отрезок $BK_1$.
• Плоскость $\alpha$ содержит точки $M_1$ и $K_1$, которые лежат на верхней грани $M_1N_1K_1L_1$. Следовательно, третья сторона сечения — отрезок $M_1K_1$.

Искомым сечением является треугольник $M_1BK_1$.

Ответ: Сечением параллелепипеда является треугольник $M_1BK_1$, где $M_1, K_1$ — вершины параллелепипеда, а B — середина ребра $LL_1$.

Построение отрезка, по которому это сечение пересекает диагональное сечение $NLL_1N_1$

1. Нам нужно найти линию пересечения двух плоскостей: плоскости построенного сечения $\alpha = (M_1BK_1)$ и плоскости диагонального сечения $\delta = (NLL_1N_1)$. Линия пересечения двух плоскостей — прямая. Мы ищем отрезок этой прямой, который одновременно принадлежит треугольнику $M_1BK_1$ и параллелограмму $NLL_1N_1$.

2. Для построения прямой пересечения найдем две общие точки этих плоскостей.

3. Первая общая точка — B. Точка B принадлежит сечению $M_1BK_1$ по построению. Точка B также принадлежит диагональному сечению $NLL_1N_1$, так как она является серединой ребра $LL_1$, которое является одной из сторон этого сечения.

4. Для нахождения второй общей точки рассмотрим пересечение стороны $M_1K_1$ треугольника $M_1BK_1$ с плоскостью $\delta = (NLL_1N_1)$.

• Сторона $M_1K_1$ лежит в плоскости верхней грани $M_1N_1K_1L_1$.
• Плоскость $\delta$ пересекает плоскость верхней грани по прямой $N_1L_1$.
• Следовательно, точка пересечения прямой $M_1K_1$ и плоскости $\delta$ — это точка пересечения прямых $M_1K_1$ и $N_1L_1$. Обозначим эту точку P.

5. В параллелограмме верхней грани $M_1N_1K_1L_1$ отрезки $M_1K_1$ и $N_1L_1$ являются диагоналями. Точка их пересечения P является серединой каждой из них. Таким образом, вторая общая точка P — середина диагонали $N_1L_1$ верхней грани.

6. Прямая пересечения плоскостей $\alpha$ и $\delta$ — это прямая $BP$.

7. Отрезок пересечения ограничен областью, принадлежащей обеим фигурам. Точка B принадлежит обеим фигурам. Точка P, как середина $N_1L_1$, принадлежит стороне параллелограмма $NLL_1N_1$. Точка P, как середина $M_1K_1$, принадлежит стороне треугольника $M_1BK_1$. Следовательно, обе конечные точки отрезка $BP$ лежат на границах обеих фигур.

Искомый отрезок — это отрезок $BP$, соединяющий середину ребра $LL_1$ с серединой диагонали $N_1L_1$ верхней грани.

Ответ: Отрезок, по которому сечение $M_1BK_1$ пересекает диагональное сечение $NLL_1N_1$, — это отрезок $BP$, где P — точка пересечения диагоналей $M_1K_1$ и $N_1L_1$ верхней грани (т.е. середина отрезка $N_1L_1$).