Номер 174, страница 79 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

174. Учитывая, что точки $B, P, R$ — середины рёбер $FG, FD, FH$ пирамиды $DFGH$, отрезок $AB$ — медиана треугольника $BPR$, а точка $C$ принадлежит ребру $DG$ (рис. 202):

а) докажите, что прямая $AB$ параллельна плоскости $DGH$;

б) установите, пересекается ли прямая $HC$ с плоскостью $BPR$.

Рис. 202

а)

1. Рассмотрим треугольник $DFG$. По условию, точка $P$ — середина ребра $FD$, а точка $B$ — середина ребра $FG$. Это означает, что отрезок $PB$ является средней линией треугольника $DFG$. По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне, следовательно, $PB \parallel DG$.

2. Прямая $DG$ является ребром грани $DGH$, поэтому она лежит в плоскости $DGH$. Поскольку прямая $PB$ параллельна прямой $DG$, которая лежит в плоскости $DGH$, то по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $PB$ параллельна плоскости $DGH$.

3. Рассмотрим треугольник $FHG$. По условию, точка $R$ — середина ребра $FH$, а точка $B$ — середина ребра $FG$. Следовательно, отрезок $RB$ является средней линией треугольника $FHG$. По свойству средней линии, $RB \parallel HG$.

4. Прямая $HG$ является ребром грани $DGH$ и лежит в этой плоскости. Так как $RB \parallel HG$, то прямая $RB$ параллельна плоскости $DGH$.

5. Прямые $PB$ и $RB$ пересекаются в точке $B$ и обе лежат в плоскости $BPR$. Мы установили, что обе эти прямые параллельны плоскости $DGH$.

6. Согласно признаку параллельности плоскостей, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Таким образом, плоскость $(BPR)$ параллельна плоскости $(DGH)$.

7. По условию, $AB$ — медиана треугольника $BPR$. Это означает, что прямая $AB$ лежит в плоскости треугольника $BPR$.

8. Так как прямая $AB$ лежит в плоскости $BPR$, а плоскость $BPR$ параллельна плоскости $DGH$, то прямая $AB$ параллельна плоскости $DGH$. Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано, что прямая $AB$ параллельна плоскости $DGH$.

б)

1. В ходе решения пункта а) мы доказали, что плоскость $(BPR)$ параллельна плоскости $(DGH)$.

2. Рассмотрим прямую $HC$. Точка $H$ является вершиной пирамиды и принадлежит плоскости $DGH$.

3. По условию, точка $C$ принадлежит ребру $DG$. Так как точки $D$ и $G$ лежат в плоскости $DGH$, то и все ребро $DG$ лежит в этой плоскости. Следовательно, точка $C$ также лежит в плоскости $DGH$.

4. Поскольку обе точки, $H$ и $C$, принадлежат плоскости $DGH$, то вся прямая $HC$ целиком лежит в плоскости $DGH$.

5. Мы имеем две параллельные плоскости, $(BPR)$ и $(DGH)$, и прямую $HC$, которая лежит в одной из них (в плоскости $DGH$). По определению, параллельные плоскости не имеют общих точек. Следовательно, прямая, лежащая в одной из параллельных плоскостей, не может пересечь другую плоскость (она ей параллельна).

Ответ: прямая $HC$ не пересекает плоскость $BPR$.