Номер 169, страница 78 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

169. Учитывая, что диагонали $NL$ и $MK$ грани $KLMN$ параллелепипеда $MNKLM_1N_1K_1L_1$ пересекаются в точке $Q$, серединой ребра $NN_1$ является точка $R$, а четырёхугольник $N_1ALB$ является сечением параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку $N_1$ и параллельной плоскости $MRK$ (рис. 201):

а) установите, является ли параллелограммом четырёхугольник $N_1ALB$;

б) докажите, что прямыя $RQ$ и $N_1L$ параллельны.

Рис. 201

а) Для решения задачи введем векторный базис с началом в точке $M$. Пусть $\vec{MN} = \vec{a}$, $\vec{ML} = \vec{b}$ и $\vec{MM_1} = \vec{c}$. Векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ некомпланарны.

Выразим векторы, определяющие положение вершин параллелепипеда, через базисные векторы: $\vec{M} = \vec{0}$, $\vec{N} = \vec{a}$, $\vec{L} = \vec{b}$, $\vec{K} = \vec{MN} + \vec{NK} = \vec{a} + \vec{b}$. $\vec{M_1} = \vec{c}$, $\vec{N_1} = \vec{MN} + \vec{NN_1} = \vec{a} + \vec{c}$, $\vec{L_1} = \vec{ML} + \vec{LL_1} = \vec{b} + \vec{c}$, $\vec{K_1} = \vec{MK} + \vec{KK_1} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$.

По условию, $R$ — середина ребра $NN_1$. Найдем ее радиус-вектор: $\vec{MR} = \vec{MN} + \vec{NR} = \vec{MN} + \frac{1}{2}\vec{NN_1} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c}$.

Сечение $N_1ALB$ проходит через точку $N_1$ и параллельно плоскости $(MRK)$. Плоскость $(MRK)$ определяется двумя пересекающимися прямыми, например $MR$ и $MK$. Найдем их векторы: $\vec{MR} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c}$. $\vec{MK} = \vec{a} + \vec{b}$.

Построим сечение. Плоскость сечения пересекает параллельные грани по параллельным прямым. 1. Прямая $N_1A$ — это линия пересечения секущей плоскости с гранью $MNN_1M_1$. Так как секущая плоскость параллельна $(MRK)$, а плоскость грани $MNN_1M_1$ пересекает $(MRK)$ по прямой $MR$, то $N_1A \parallel MR$. Точка $A$ лежит на ребре $MM_1$, поэтому $\vec{MA} = k \cdot \vec{c}$ для некоторого $k \in [0, 1]$. Найдем вектор $\vec{AN_1}$: $\vec{AN_1} = \vec{MN_1} - \vec{MA} = (\vec{a}+\vec{c}) - k\vec{c} = \vec{a} + (1-k)\vec{c}$. Так как $\vec{AN_1} \parallel \vec{MR}$, то их векторы коллинеарны: $\vec{a} + (1-k)\vec{c} = \lambda (\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c})$. В силу неколлинеарности векторов $\vec{a}$ и $\vec{c}$ получаем систему: $\lambda = 1$ и $1-k = \frac{1}{2}\lambda$. Решая систему, находим $k = \frac{1}{2}$. Следовательно, $A$ — середина ребра $MM_1$.

2. Прямая $N_1B$ — это линия пересечения секущей плоскости с гранью $NKK_1N_1$. Она параллельна линии пересечения плоскостей $(MRK)$ и $(NKK_1N_1)$, то есть прямой $RK$. $\vec{RK} = \vec{MK} - \vec{MR} = (\vec{a}+\vec{b}) - (\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c}) = \vec{b} - \frac{1}{2}\vec{c}$. Точка $B$ лежит на ребре $KK_1$, поэтому $\vec{KB} = p \cdot \vec{c}$ для некоторого $p \in [0, 1]$. $\vec{N_1B} = \vec{MB} - \vec{MN_1} = (\vec{MK} + \vec{KB}) - \vec{MN_1} = ((\vec{a}+\vec{b}) + p\vec{c}) - (\vec{a}+\vec{c}) = \vec{b} + (p-1)\vec{c}$. Из условия $N_1B \parallel RK$ следует коллинеарность векторов: $\vec{b} + (p-1)\vec{c} = \mu (\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{c})$. Приравнивая коэффициенты при $\vec{b}$ и $\vec{c}$, получаем $\mu=1$ и $p-1 = -\frac{1}{2}\mu$, откуда $p=\frac{1}{2}$. Следовательно, $B$ — середина ребра $KK_1$.

3. Четырехугольник сечения — $N_1ALB$. Вершины сечения — $N_1$, $A$ (середина $MM_1$), $L$ (вершина параллелепипеда) и $B$ (середина $KK_1$). Проверим, является ли $N_1ALB$ параллелограммом. Для этого достаточно проверить равенство векторов его противоположных сторон, например $\vec{AL}$ и $\vec{N_1B}$. $\vec{AL} = \vec{ML} - \vec{MA} = \vec{b} - \frac{1}{2}\vec{c}$. $\vec{N_1B} = \vec{b} - \frac{1}{2}\vec{c}$ (было найдено ранее). Так как $\vec{AL} = \vec{N_1B}$, то отрезки $AL$ и $N_1B$ параллельны и равны по длине. Это означает, что четырехугольник $N_1ALB$ является параллелограммом.

Ответ: да, является.

б) Чтобы доказать, что прямые $RQ$ и $N_1L$ параллельны, нужно показать коллинеарность векторов $\vec{RQ}$ и $\vec{N_1L}$.

Используем тот же векторный базис, что и в пункте а). Найдем радиус-векторы точек $R, Q, N_1, L$. $\vec{MN_1} = \vec{a} + \vec{c}$. $\vec{ML} = \vec{b}$. $\vec{MR} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c}$. Точка $Q$ — точка пересечения диагоналей $NL$ и $MK$ грани $MNKL$. Значит, $Q$ — середина диагонали $MK$. $\vec{MQ} = \frac{\vec{MM} + \vec{MK}}{2} = \frac{\vec{0} + (\vec{a}+\vec{b})}{2} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$.

Теперь найдем векторы $\vec{N_1L}$ и $\vec{RQ}$: $\vec{N_1L} = \vec{ML} - \vec{MN_1} = \vec{b} - (\vec{a}+\vec{c}) = -\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$. $\vec{RQ} = \vec{MQ} - \vec{MR} = (\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}) - (\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c}) = -\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{c}$.

Сравним полученные векторы: $\vec{RQ} = -\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{c} = \frac{1}{2}(-\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}) = \frac{1}{2}\vec{N_1L}$.

Поскольку $\vec{RQ} = \frac{1}{2}\vec{N_1L}$, векторы $\vec{RQ}$ и $\vec{N_1L}$ коллинеарны, а значит, прямые $RQ$ и $N_1L$ параллельны.

Ответ: утверждение доказано.