Номер 164, страница 77 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

164. Начертите параллелепипед $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ и постройте его сечение:

а) плоскостью $ABC_1$;

б) плоскостью $ACC_1$.

Докажите, что построенные сечения являются параллелограммами.

Сначала начертим произвольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Основания $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ — параллелограммы, лежащие в параллельных плоскостях. Боковые ребра $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $DD_1$ параллельны и равны.

Для построения сечения плоскостью $ABC_1$ выполним следующие шаги.
1. Соединим точки $A$ и $B$, так как они лежат в одной грани $ABB_1A_1$. Отрезок $AB$ — это след секущей плоскости на нижней грани $ABCD$.
2. Соединим точки $B$ и $C_1$, так как они лежат в одной грани $BCC_1B_1$. Отрезок $BC_1$ — это след секущей плоскости на боковой грани $BCC_1B_1$.
3. Плоскости оснований $(ABC)$ и $(A_1B_1C_1)$ параллельны. Секущая плоскость $(ABC_1)$ пересекает эти параллельные плоскости по параллельным прямым. Поскольку линия пересечения с плоскостью $(ABC)$ — это прямая $AB$, то линия пересечения с плоскостью $(A_1B_1C_1)$ должна проходить через точку $C_1$ и быть параллельной $AB$. В верхнем основании $A_1B_1C_1D_1$ прямая, параллельная $AB$ (а значит, и $A_1B_1$), есть прямая $D_1C_1$. Следовательно, четвертая вершина сечения — это точка $D_1$.
4. Соединив последовательно точки $A$, $B$, $C_1$ и $D_1$, получаем искомое сечение — четырехугольник $ABC_1D_1$.

Докажем, что четырехугольник $ABC_1D_1$ является параллелограммом.
По определению параллелепипеда, его основания $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ являются равными и параллельными параллелограммами. Из этого следует, что $\vec{AB} = \vec{DC}$. Также, поскольку $DCC_1D_1$ - параллелограмм, $\vec{DC} = \vec{D_1C_1}$. Используя свойство транзитивности для векторов, получаем, что $\vec{AB} = \vec{D_1C_1}$.
Равенство векторов $\vec{AB}$ и $\vec{D_1C_1}$ означает, что отрезки $AB$ и $D_1C_1$ параллельны и равны по длине ($AB \parallel D_1C_1$ и $AB = D_1C_1$).
Согласно признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник является параллелограммом. Следовательно, $ABC_1D_1$ — параллелограмм.

Ответ: Сечением является параллелограмм $ABC_1D_1$.

Для построения сечения плоскостью $ACC_1$ выполним следующие шаги.
1. Соединим точки $A$ и $C$. Они лежат в плоскости нижнего основания $ABCD$, и отрезок $AC$ является диагональю этого основания.
2. Соединим точки $C$ и $C_1$. Они лежат на одном боковом ребре $CC_1$.
3. По определению параллелепипеда, боковые ребра параллельны и равны, то есть $AA_1 \parallel CC_1$. Плоскость $(ACC_1)$ проходит через прямую $CC_1$ и точку $A$. Так как прямая $AA_1$ параллельна прямой $CC_1$ и проходит через точку $A$, то по свойству параллельных прямых и плоскостей, прямая $AA_1$ целиком лежит в плоскости $(ACC_1)$. Это означает, что точка $A_1$ также принадлежит секущей плоскости и является четвертой вершиной сечения.
4. Соединив последовательно точки $A$, $C$, $C_1$ и $A_1$, получаем искомое сечение — четырехугольник $ACC_1A_1$. Такое сечение называется диагональным сечением параллелепипеда.

Докажем, что четырехугольник $ACC_1A_1$ является параллелограммом.
Рассмотрим противоположные стороны $AA_1$ и $CC_1$ в полученном четырехугольнике. По определению параллелепипеда, все его боковые ребра параллельны и равны. Следовательно, стороны $AA_1$ и $CC_1$ четырехугольника $ACC_1A_1$ параллельны ($AA_1 \parallel CC_1$) и равны по длине ($AA_1 = CC_1$).
По признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Таким образом, $ACC_1A_1$ является параллелограммом.

Ответ: Сечением является диагональное сечение $ACC_1A_1$, которое является параллелограммом.