Номер 163, страница 77 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

163. Начертите треугольную пирамиду $KLMN$ и:

а) постройте её сечение плоскостью, проходящей через ребро $KL$ и середину $A$ ребра $MN$;

б) докажите, что плоскость, проходящая через середины $E$, $O$ и $F$ отрезков $LM$, $MA$ и $MK$, параллельна плоскости $LKA$;

в) найдите площадь треугольника $EOF$, учитывая, что площадь треугольника $LKA$ равна $24 \text{ см}^2$.

а) Чтобы построить сечение пирамиды $KLMN$ плоскостью, проходящей через ребро $KL$ и середину $A$ ребра $MN$, необходимо выполнить следующие действия:

1. На ребре $MN$ найти его середину и обозначить ее точкой $A$.
2. Соединить точку $A$ с вершинами $K$ и $L$ отрезками. Получим отрезки $KA$ и $LA$.
3. Точки $K$, $L$ и $A$ задают секущую плоскость. Треугольник $KLA$ является фигурой, образованной пересечением этой плоскости с гранями пирамиды. Отрезок $KL$ — это ребро пирамиды, отрезок $LA$ лежит в грани $LMN$, а отрезок $KA$ лежит в грани $KMN$.

Таким образом, искомым сечением является треугольник $KLA$.

Ответ: Сечением является треугольник $KLA$.

б) Для доказательства того, что плоскость, проходящая через середины $E$, $O$ и $F$ отрезков $LM$, $MA$ и $MK$ соответственно, параллельна плоскости $LKA$, воспользуемся признаком параллельности двух плоскостей. Согласно этому признаку, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

1. Рассмотрим треугольник $\triangle LMA$. По условию, точка $E$ — середина стороны $LM$, а точка $O$ — середина стороны $MA$. Следовательно, отрезок $EO$ является средней линией $\triangle LMA$. По свойству средней линии треугольника, $EO$ параллельна стороне $LA$ ($EO \parallel LA$).

2. Рассмотрим треугольник $\triangle MKA$. По условию, точка $O$ — середина стороны $MA$, а точка $F$ — середина стороны $MK$. Следовательно, отрезок $OF$ является средней линией $\triangle MKA$. По свойству средней линии, $OF$ параллельна стороне $KA$ ($OF \parallel KA$).

3. Прямые $EO$ и $OF$ лежат в плоскости $EOF$ и пересекаются в точке $O$. Прямые $LA$ и $KA$ лежат в плоскости $LKA$ и пересекаются в точке $A$. Поскольку мы показали, что $EO \parallel LA$ и $OF \parallel KA$, то по признаку параллельности плоскостей, плоскость $(EOF)$ параллельна плоскости $(LKA)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

в) Требуется найти площадь треугольника $EOF$, зная, что площадь треугольника $LKA$ равна $24 \text{ см}^2$.

Рассмотрим треугольники $\triangle EOF$ и $\triangle LKA$.

Как было доказано в пункте б), $EO \parallel LA$ и $OF \parallel KA$. Кроме того, по свойству средней линии: $EO = \frac{1}{2}LA$ и $OF = \frac{1}{2}KA$.

Рассмотрим третью сторону треугольников — $EF$. В треугольнике $\triangle LMK$ точки $E$ и $F$ являются серединами сторон $LM$ и $MK$ соответственно. Следовательно, $EF$ — средняя линия $\triangle LMK$. По свойству средней линии, $EF \parallel LK$ и $EF = \frac{1}{2}LK$.

Поскольку стороны треугольника $EOF$ соответственно параллельны сторонам треугольника $LKA$ ($EO \parallel LA$, $OF \parallel KA$, $EF \parallel LK$), то эти треугольники подобны ($\triangle EOF \sim \triangle LKA$).

Коэффициент подобия $k$ равен отношению длин соответственных сторон:$k = \frac{EO}{LA} = \frac{OF}{KA} = \frac{EF}{LK} = \frac{1}{2}$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:$\frac{S_{EOF}}{S_{LKA}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

Отсюда мы можем найти площадь треугольника $EOF$:$S_{EOF} = \frac{1}{4} \cdot S_{LKA}$.

Подставим известное значение $S_{LKA} = 24 \text{ см}^2$:$S_{EOF} = \frac{1}{4} \cdot 24 = 6 \text{ см}^2$.

Ответ: 6 см².