Номер 161, страница 77 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

161. Три прямые, проходящие через одну точку и не лежащие в одной плоскости, пересекают одну из параллельных плоскостей в точках $I_1, J_1$ и $K_1$, а другую — в точках $I_2, J_2$ и $K_2$. Докажите, что треугольники $I_1J_1K_1$ и $I_2J_2K_2$ подобны.

Обозначим общую точку пересечения трех прямых как $O$. Пусть данные параллельные плоскости — это $\alpha$ и $\beta$. По условию, три прямые, проходящие через точку $O$, пересекают плоскость $\alpha$ в точках $I_1, J_1, K_1$ и плоскость $\beta$ в точках $I_2, J_2, K_2$. Это означает, что точки $O, I_1, I_2$ лежат на одной прямой, точки $O, J_1, J_2$ — на второй, а точки $O, K_1, K_2$ — на третьей.

Рассмотрим две прямые $OI_2$ и $OJ_2$. Они определяют единственную плоскость, которую мы назовем $\gamma_{IJ}$. Точки $I_1$ и $J_1$ также лежат в этой плоскости, так как $I_1$ лежит на прямой $OI_2$, а $J_1$ — на прямой $OJ_2$.

Плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$). По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскостью, линии их пересечения параллельны. Плоскость $\gamma_{IJ}$ пересекает плоскость $\alpha$ по прямой $I_1J_1$ и плоскость $\beta$ по прямой $I_2J_2$. Следовательно, $I_1J_1 \parallel I_2J_2$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle OI_1J_1$ и $\triangle OI_2J_2$, которые лежат в плоскости $\gamma_{IJ}$. Угол $\angle I_1OJ_1$ является общим для этих треугольников (или углы $\angle I_1OJ_1$ и $\angle I_2OJ_2$ вертикальные, что не меняет их равенства). Так как $I_1J_1 \parallel I_2J_2$, то углы $\angle OI_1J_1$ и $\angle OI_2J_2$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $I_1J_1, I_2J_2$ и секущей $OI_2$. Следовательно, по признаку подобия по двум углам (AA), $\triangle OI_1J_1 \sim \triangle OI_2J_2$.

Из подобия этих треугольников следует пропорциональность их сторон: $$ \frac{I_1J_1}{I_2J_2} = \frac{OI_1}{OI_2} = \frac{OJ_1}{OJ_2} $$

Проводя абсолютно аналогичные рассуждения для плоскости $(OJ_2K_2)$, мы докажем, что $J_1K_1 \parallel J_2K_2$ и $\triangle OJ_1K_1 \sim \triangle OJ_2K_2$. Из этого подобия следует: $$ \frac{J_1K_1}{J_2K_2} = \frac{OJ_1}{OJ_2} = \frac{OK_1}{OK_2} $$

И для плоскости $(OK_2I_2)$, мы докажем, что $K_1I_1 \parallel K_2I_2$ и $\triangle OK_1I_1 \sim \triangle OK_2I_2$. Из этого подобия следует: $$ \frac{K_1I_1}{K_2I_2} = \frac{OK_1}{OK_2} = \frac{OI_1}{OI_2} $$

Сопоставим полученные равенства. Из них следует, что отношения отрезков, отсекаемых плоскостями на прямых, проходящих через точку $O$, равны между собой: $$ \frac{OI_1}{OI_2} = \frac{OJ_1}{OJ_2} = \frac{OK_1}{OK_2} $$ Обозначим это общее отношение, называемое коэффициентом подобия, как $k$.

Тогда отношения соответствующих сторон треугольников $\triangle I_1J_1K_1$ и $\triangle I_2J_2K_2$ равны этому же коэффициенту $k$: $$ \frac{I_1J_1}{I_2J_2} = k, \quad \frac{J_1K_1}{J_2K_2} = k, \quad \frac{K_1I_1}{K_2I_2} = k $$ Таким образом, мы установили, что все три стороны треугольника $\triangle I_1J_1K_1$ пропорциональны трем соответствующим сторонам треугольника $\triangle I_2J_2K_2$: $$ \frac{I_1J_1}{I_2J_2} = \frac{J_1K_1}{J_2K_2} = \frac{K_1I_1}{K_2I_2} $$

По третьему признаку подобия треугольников (по трем пропорциональным сторонам, SSS), треугольник $\triangle I_1J_1K_1$ подобен треугольнику $\triangle I_2J_2K_2$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что треугольники $\triangle I_1J_1K_1$ и $\triangle I_2J_2K_2$ подобны.