Номер 162, страница 77 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

162. Учитывая, что через точку пересечения медиан грани JKL треугольной пирамиды IJKL проведена плоскость, параллельная грани IJK:

а) докажите, что сечением пирамиды этой плоскостью является треугольник, подобный треугольнику IJK;

б) найдите отношение площади сечения к площади треугольника IJK.

а)

Пусть дана треугольная пирамида $IJKL$. Пусть $α$ — секущая плоскость, проходящая через точку $M$ пересечения медиан грани $JKL$ и параллельная грани $IJK$.

Вершиной пирамиды, противолежащей грани $IJK$, является вершина $L$. Поскольку секущая плоскость $α$ параллельна плоскости грани $IJK$, она отсекает от пирамиды $IJKL$ меньшую пирамиду, подобную исходной.

Пусть плоскость $α$ пересекает ребра $LI$, $LJ$, $LK$ в точках $I'$, $J'$, $K'$ соответственно. Сечением пирамиды является треугольник $I'J'K'$.

Рассмотрим плоскость грани $LIJ$. Она пересекает две параллельные плоскости: плоскость $α$ и плоскость $IJK$. По свойству параллельных плоскостей, линии их пересечения с третьей плоскостью параллельны. Следовательно, прямая $I'J'$, по которой плоскость $α$ пересекает грань $LIJ$, параллельна прямой $IJ$. Таким образом, $I'J' || IJ$.

Аналогично, рассматривая плоскости граней $LJK$ и $LIK$, получаем:

• $J'K' || JK$ (из рассмотрения плоскости $LJK$)
• $I'K' || IK$ (из рассмотрения плоскости $LIK$)

Теперь сравним треугольники $I'J'K'$ и $IJK$.

Из $I'J' || IJ$ следует подобие треугольников $LI'J'$ и $LIJ$. Из этого подобия следует: $ \frac{LI'}{LI} = \frac{LJ'}{LJ} = \frac{I'J'}{IJ} $

Из $J'K' || JK$ следует подобие треугольников $LJ'K'$ и $LJK$. Из этого подобия следует: $ \frac{LJ'}{LJ} = \frac{LK'}{LK} = \frac{J'K'}{JK} $

Объединяя эти соотношения, получаем, что существует единый коэффициент подобия $k$: $ k = \frac{LI'}{LI} = \frac{LJ'}{LJ} = \frac{LK'}{LK} $

Следовательно, стороны треугольника $I'J'K'$ пропорциональны сторонам треугольника $IJK$: $ \frac{I'J'}{IJ} = \frac{J'K'}{JK} = \frac{I'K'}{IK} = k $

По третьему признаку подобия (по трем сторонам) треугольник $I'J'K'$ подобен треугольнику $IJK$. Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано, что сечением является треугольник, подобный треугольнику $IJK$.

б)

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия. $ \frac{S_{I'J'K'}}{S_{IJK}} = k^2 $

Найдем коэффициент подобия $k$. Для этого используем условие, что секущая плоскость $α$ проходит через точку $M$ — точку пересечения медиан (центроид) грани $JKL$.

Проведем в грани $JKL$ медиану $LP$ к стороне $JK$ (где $P$ — середина $JK$). Точка $M$ лежит на этой медиане. По свойству медиан треугольника, центроид делит медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Таким образом: $ \frac{LM}{MP} = \frac{2}{1} \implies \frac{LM}{LP} = \frac{2}{2+1} = \frac{2}{3} $

Рассмотрим плоскость, проходящую через точки $L$, $I$ и $P$. Эта плоскость содержит ребро $LI$ пирамиды и медиану $LP$ грани $JKL$. Секущая плоскость $α$ пересекает ребро $LI$ в точке $I'$ и медиану $LP$ в точке $M$. Таким образом, линия пересечения плоскости $α$ с плоскостью $LIP$ — это прямая $MI'$.

Плоскость грани $IJK$ пересекает плоскость $LIP$ по прямой $IP$.

Так как плоскость $α$ параллельна плоскости $IJK$, то их линии пересечения с третьей плоскостью $LIP$ также параллельны. Следовательно, $MI' || IP$.

Рассмотрим треугольник $LIP$. В нем проведена прямая $MI'$, параллельная основанию $IP$. По теореме о подобных треугольниках (или обобщенной теореме Фалеса), треугольник $LMI'$ подобен треугольнику $LIP$.

Из подобия этих треугольников следует равенство отношений соответствующих сторон: $ \frac{LI'}{LI} = \frac{LM}{LP} $

Мы уже установили, что $ \frac{LM}{LP} = \frac{2}{3} $. Следовательно, коэффициент подобия $k$ для пирамид и для сечения равен: $ k = \frac{LI'}{LI} = \frac{2}{3} $

Теперь можем найти отношение площадей: $ \frac{S_{I'J'K'}}{S_{IJK}} = k^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} $

Ответ: $4/9$.