Номер 165, страница 77 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

165. Начертите параллелепипед $IJKLI_1J_1K_1L_1$ и отметьте внутреннюю точку $M$ грани $II_1J_1J$. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку $M$ параллельно:

а) плоскости основания $IJKL$;

б) грани $JJ_1K_1K$.

Сначала построим параллелепипед $IJKLI_1J_1K_1L_1$ и отметим точку $M$ на грани $II_1J_1J$.

В основе построений лежит свойство параллельных плоскостей: если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то их линии пересечения параллельны.

Пусть секущая плоскость называется $\alpha$.

а) Построение сечения, параллельного плоскости основания $IJKL$

Секущая плоскость $\alpha$ проходит через точку $M$ и параллельна плоскости основания $(IJKL)$.

1. Точка $M$ лежит в плоскости грани $(II_1J_1J)$. Так как $\alpha \parallel (IJKL)$, то линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью $(II_1J_1J)$ должна быть параллельна линии пересечения плоскостей $(IJKL)$ и $(II_1J_1J)$. Линией пересечения оснований является ребро $IJ$.
2. Проведем в плоскости $(II_1J_1J)$ через точку $M$ прямую, параллельную $IJ$. Эта прямая пересечет ребра $II_1$ и $JJ_1$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Отрезок $PQ$ — первая сторона сечения.
3. Точка $Q$ лежит на грани $(JJ_1K_1K)$. Так как $\alpha \parallel (IJKL)$, линия пересечения $\alpha$ с гранью $(JJ_1K_1K)$ будет параллельна ребру $JK$. Проведем через точку $Q$ прямую, параллельную $JK$, до пересечения с ребром $KK_1$ в точке $R$. Отрезок $QR$ — вторая сторона сечения.
4. Аналогично, из точки $R$ на грани $(KK_1L_1L)$ проведем прямую, параллельную ребру $KL$, до пересечения с ребром $LL_1$ в точке $S$. Отрезок $RS$ — третья сторона сечения.
5. Соединим точки $S$ и $P$, которые лежат в плоскости грани $(II_1L_1L)$. Отрезок $SP$ замыкает сечение. Так как плоскость $\alpha$ пересекает параллельные плоскости $(II_1J_1J)$ и $(KK_1L_1L)$, то линии пересечения $PQ$ и $RS$ параллельны. Аналогично, $PS \parallel QR$. Следовательно, искомое сечение $PQRS$ — параллелограмм.

Ответ: Искомое сечение — параллелограмм $PQRS$, построенный согласно описанному алгоритму.

б) Построение сечения, параллельного грани $JJ_1K_1K$

Секущая плоскость $\alpha$ проходит через точку $M$ и параллельна плоскости боковой грани $(JJ_1K_1K)$.

1. Точка $M$ лежит в плоскости грани $(II_1J_1J)$. Так как $\alpha \parallel (JJ_1K_1K)$, то линия пересечения $\alpha$ с плоскостью $(II_1J_1J)$ должна быть параллельна линии пересечения плоскостей $(JJ_1K_1K)$ и $(II_1J_1J)$, то есть ребру $JJ_1$.
2. Проведем в плоскости $(II_1J_1J)$ через точку $M$ прямую, параллельную $JJ_1$. Эта прямая пересечет ребра $IJ$ и $I_1J_1$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Отрезок $PQ$ — первая сторона сечения.
3. Точка $P$ лежит на грани основания $(IJKL)$. Так как $\alpha \parallel (JJ_1K_1K)$, линия пересечения $\alpha$ с плоскостью $(IJKL)$ будет параллельна ребру $JK$. Проведем через точку $P$ прямую, параллельную $JK$. В параллелограмме $IJKL$ противоположные стороны $IL$ и $JK$ параллельны. Значит, строим прямую, параллельную $IL$. Она пересечет ребро $LK$ в точке $S$. Отрезок $PS$ — вторая сторона сечения.
4. Точка $Q$ лежит на верхней грани $(I_1J_1K_1L_1)$. Аналогично, проведем через точку $Q$ прямую, параллельную ребру $J_1K_1$, до пересечения с ребром $L_1K_1$ в точке $R$. Отрезок $QR$ — третья сторона сечения.
5. Соединим точки $S$ и $R$, которые лежат в плоскости задней грани $(KK_1L_1L)$. Отрезок $SR$ замыкает сечение. Так как секущая плоскость $\alpha$ пересекает параллельные плоскости оснований $(IJKL)$ и $(I_1J_1K_1L_1)$, то линии пересечения $PS$ и $QR$ параллельны. Так как $\alpha$ пересекает параллельные боковые грани $(II_1J_1J)$ и $(KK_1L_1L)$, то $PQ \parallel SR$. Следовательно, искомое сечение $PQRS$ — параллелограмм.

Ответ: Искомое сечение — параллелограмм $PQRS$, построенный согласно описанному алгоритму.