Номер 172, страница 78 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

172. Учитывая, что точки $I, J, K$ и $L$ не лежат в одной плоскости, а медианы треугольников $IJK$ и $KJL$ пересекаются соответственно в точках $M_1$ и $M_2$:

а) докажите, что отрезки $IL$ и $M_1M_2$ параллельны;

б) найдите $M_1M_2$, учитывая, что $IL = 12$ см.

а) По условию, $M_1$ является точкой пересечения медиан треугольника $IJK$, а $M_2$ — точкой пересечения медиан треугольника $KJL$. Точка пересечения медиан треугольника называется его центроидом.
Рассмотрим общее ребро $JK$ этих двух треугольников. Пусть точка $P$ — середина отрезка $JK$. Тогда отрезки $IP$ и $LP$ являются медианами в треугольниках $IJK$ и $KJL$ соответственно.
По свойству центроида, он делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины.
Для треугольника $IJK$ точка $M_1$ лежит на медиане $IP$, и выполняется соотношение $IM_1 : M_1P = 2:1$. Из этого следует, что $PM_1 = \frac{1}{3} IP$.
Аналогично для треугольника $KJL$ точка $M_2$ лежит на медиане $LP$, и выполняется соотношение $LM_2 : M_2P = 2:1$. Из этого следует, что $PM_2 = \frac{1}{3} LP$.
Теперь рассмотрим треугольник $IPL$. Точки $M_1$ и $M_2$ лежат на его сторонах $IP$ и $LP$ соответственно. Так как $\frac{PM_1}{IP} = \frac{PM_2}{LP} = \frac{1}{3}$, то по теореме, обратной теореме Фалеса (или по признаку подобия треугольников), треугольник $PM_1M_2$ подобен треугольнику $PIL$ ($\triangle PM_1M_2 \sim \triangle PIL$).
Из подобия треугольников следует параллельность их соответствующих сторон, то есть $M_1M_2 \parallel IL$.
Ответ: доказано, что отрезки $IL$ и $M_1M_2$ параллельны.

б) Из подобия треугольников $\triangle PM_1M_2$ и $\triangle PIL$, установленного в пункте а), следует, что отношение длин соответствующих сторон равно коэффициенту подобия $k$.
Коэффициент подобия $k = \frac{PM_1}{IP} = \frac{1}{3}$.
Следовательно, отношение сторон $M_1M_2$ и $IL$ также равно $k$: $\frac{M_1M_2}{IL} = \frac{1}{3}$
Отсюда можем выразить длину отрезка $M_1M_2$: $M_1M_2 = \frac{1}{3} \cdot IL$
По условию задачи $IL = 12$ см. Подставим это значение в формулу: $M_1M_2 = \frac{1}{3} \cdot 12 = 4$ см.
Ответ: $4$ см.