Номер 178, страница 79 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

178. Учитывая, что четырёхугольник $EFGH$ — сечение параллелепипеда $STUVS_1T_1U_1V_1$ плоскостью, проходящей через точку $Q$ пересечения диагоналей грани $UVV_1U_1$ и параллельной плоскости $TVV_1$ (рис. 203):

а) объясните, почему прямые $FE$ и $GH$ параллельны;

б) определите, параллельны ли прямые $GF$ и $HE$;

в) объясните, почему прямая $SS_1$ параллельна плоскости сечения.

Рис. 203

а) объясните, почему прямые FE и GH параллельны;

Обозначим плоскость сечения $EFGH$ как $\alpha$. По условию, плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $(TVV_1)$. Так как $STUVS_1T_1U_1V_1$ — параллелепипед, то его боковое ребро $TT_1$ параллельно ребру $VV_1$. Следовательно, точки $T, V, V_1, T_1$ лежат в одной плоскости, и эта плоскость $(TVV_1T_1)$ является диагональной плоскостью параллелепипеда. Таким образом, условие можно записать как $\alpha \parallel (TVV_1T_1)$.

Рассмотрим пересечение этих параллельных плоскостей $\alpha$ и $(TVV_1T_1)$ с плоскостью верхнего основания $(S_1T_1U_1V_1)$.

• Прямая $FE$ является линией пересечения плоскости сечения $\alpha$ с плоскостью верхнего основания, так как точки $F$ и $E$ лежат на ребрах $S_1T_1$ и $V_1S_1$ соответственно, которые принадлежат верхнему основанию.
• Прямая $T_1V_1$ является линией пересечения плоскости $(TVV_1T_1)$ с плоскостью верхнего основания.

Согласно свойству параллельных плоскостей, если третья плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии их пересечения параллельны. Отсюда следует, что $FE \parallel T_1V_1$.

Аналогично рассмотрим пересечение плоскостей $\alpha$ и $(TVV_1T_1)$ с плоскостью нижнего основания $(STUV)$.

• Прямая $GH$ является линией пересечения плоскости сечения $\alpha$ с плоскостью нижнего основания, так как точки $G$ и $H$ лежат на ребрах $TU$ и $UV$ соответственно.
• Прямая $TV$ является линией пересечения плоскости $(TVV_1T_1)$ с плоскостью нижнего основания.

Следовательно, $GH \parallel TV$.

В параллелепипеде противолежащие грани параллельны и равны, поэтому параллелограмм $STUV$ равен параллелограмму $S_1T_1U_1V_1$. Их соответствующие диагонали $TV$ и $T_1V_1$ параллельны ($TV \parallel T_1V_1$).

Таким образом, мы имеем систему параллельностей: $FE \parallel T_1V_1$, $GH \parallel TV$ и $T_1V_1 \parallel TV$. Из этого следует, что $FE \parallel GH$.

Ответ: Прямые $FE$ и $GH$ параллельны, так как они являются линиями пересечения плоскости сечения с параллельными плоскостями оснований параллелепипеда, что было доказано через параллельность плоскости сечения диагональной плоскости $(TVV_1T_1)$.

б) определите, параллельны ли прямые GF и HE;

Рассмотрим плоскости, в которых лежат прямые $GF$ и $HE$.

Прямая $HE$ соединяет точку $H$ на ребре $UV$ и точку $E$ на ребре $S_1V_1$. Ребра $UV$ и $S_1V_1$ параллельны (как соответствующие ребра нижнего и верхнего оснований), поэтому они задают плоскость $(UVS_1V_1)$. Прямая $HE$ лежит в этой плоскости. Также $HE$ лежит в плоскости сечения $\alpha$. Следовательно, $HE$ — это линия пересечения плоскостей $\alpha$ и $(UVS_1V_1)$.

Прямая $GF$ соединяет точку $G$ на ребре $TU$ и точку $F$ на ребре $S_1T_1$. Ребра $TU$ и $S_1T_1$ параллельны, поэтому они задают плоскость $(TUS_1T_1)$. Прямая $GF$ лежит в этой плоскости. Также $GF$ лежит в плоскости сечения $\alpha$. Следовательно, $GF$ — это линия пересечения плоскостей $\alpha$ и $(TUS_1T_1)$.

Прямые $GF$ и $HE$ были бы параллельны, если бы плоскости $(UVS_1V_1)$ и $(TUS_1T_1)$ были параллельны. Однако эти плоскости не параллельны: они имеют общую линию пересечения $US_1$ (так как точки $U$ и $S_1$ принадлежат обеим плоскостям).

Поскольку плоскости $(UVS_1V_1)$ и $(TUS_1T_1)$ пересекаются, то их линии пересечения с третьей плоскостью $\alpha$ (то есть прямые $HE$ и $GF$) будут пересекаться в точке, лежащей на прямой $US_1$. Исключением был бы случай, когда плоскость $\alpha$ параллельна прямой $US_1$.

Проверим, параллельна ли $\alpha$ прямой $US_1$. Так как по условию $\alpha \parallel (TVV_1T_1)$, это равносильно проверке, параллельна ли прямая $US_1$ (диагональ параллелепипеда) плоскости $(TVV_1T_1)$ (диагональная плоскость). В общем случае для параллелепипеда диагональ $US_1$ не параллельна диагональной плоскости $(TVV_1T_1)$. Таким образом, плоскость $\alpha$ не параллельна прямой $US_1$.

Следовательно, прямые $GF$ и $HE$ не параллельны.

Ответ: Прямые $GF$ и $HE$ не параллельны.

в) объясните, почему прямая SS₁ параллельна плоскости сечения.

Нам нужно доказать, что прямая $SS_1$ параллельна плоскости сечения $\alpha = (EFGH)$.

В параллелепипеде все боковые ребра параллельны. В частности, $SS_1 \parallel TT_1$.

Плоскость $\pi = (TVV_1)$, как было показано в пункте а), является диагональной плоскостью $(TVV_1T_1)$. Эта плоскость содержит боковое ребро $TT_1$.

Поскольку прямая $SS_1$ параллельна прямой $TT_1$, а прямая $TT_1$ лежит в плоскости $(TVV_1T_1)$, то по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $SS_1$ параллельна плоскости $(TVV_1T_1)$. То есть, $SS_1 \parallel (TVV_1T_1)$.

По условию задачи, плоскость сечения $\alpha$ параллельна плоскости $(TVV_1)$, то есть $\alpha \parallel (TVV_1T_1)$.

Мы имеем прямую $SS_1$, параллельную плоскости $(TVV_1T_1)$, и плоскость сечения $\alpha$, также параллельную плоскости $(TVV_1T_1)$. Если прямая параллельна некоторой плоскости, то она параллельна любой другой плоскости, которая параллельна первой (либо лежит в ней). Так как ребро $SS_1$ не лежит в плоскости сечения (поскольку сечение проходит через точку $Q$ на другой грани), то прямая $SS_1$ параллельна плоскости сечения $\alpha$.

Ответ: Прямая $SS_1$ параллельна прямой $TT_1$, которая лежит в плоскости $(TVV_1T_1)$. Следовательно, $SS_1 \parallel (TVV_1T_1)$. Так как по условию плоскость сечения параллельна плоскости $(TVV_1T_1)$, то прямая $SS_1$ параллельна и плоскости сечения.