Номер 179, страница 79 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

179. Учитывая, что четырёхугольник $LNAB$ — сечение параллелепипеда $KLMNK_1L_1M_1N_1$ плоскостью, проходящей через прямую $LN$ и середину $A$ ребра $N_1K_1$ (рис. 204), установите, является ли трапецией четырёхугольник $LNAB$.

Рис. 204

Рассмотрим данный параллелепипед $KLMNK_1L_1M_1N_1$. Его основания $KLMN$ и $K_1L_1M_1N_1$ лежат в параллельных плоскостях. Обозначим плоскость нижнего основания $(KLM)$ как $\alpha$, а плоскость верхнего основания $(K_1L_1M_1)$ как $\beta$. По определению параллелепипеда, плоскости его оснований параллельны, то есть $\alpha \parallel \beta$.

Четырехугольник $LNAB$ является сечением, образованным плоскостью, проходящей через точки $L$, $N$ и $A$. Обозначим эту секущую плоскость как $\gamma$.

Плоскость $\gamma$ пересекает две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$.

• Линией пересечения секущей плоскости $\gamma$ и плоскости нижнего основания $\alpha$ является прямая $LN$, так как обе точки $L$ и $N$ принадлежат обеим плоскостям.
• Линией пересечения секущей плоскости $\gamma$ и плоскости верхнего основания $\beta$ является прямая $AB$, так как обе точки $A$ и $B$ принадлежат обеим плоскостям (точка $A$ лежит на ребре $N_1K_1$, точка $B$ — на ребре $K_1L_1$, оба ребра принадлежат плоскости $\beta$).

Согласно основной теореме о пересечении параллельных плоскостей третьей плоскостью, если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии их пересечения параллельны. В нашем случае это означает, что прямая $LN$ параллельна прямой $AB$.

Трапецией называется четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие не параллельны. Поскольку в четырехугольнике $LNAB$ стороны $LN$ и $AB$ параллельны, он является трапецией (или, в частном случае, параллелограммом, если $LA \parallel NB$).

Проверим, могут ли быть параллельны стороны $LA$ и $NB$. В общем случае для наклонного параллелепипеда эти стороны не будут равны по длине и не будут параллельны. Например, если рассмотреть проекцию на плоскость $KLMN$, то отрезок $LN$ является диагональю основания, а отрезок $AB$ соединяет середины смежных сторон $N_1K_1$ и $K_1L_1$ (можно доказать, что B - середина $K_1L_1$). Длины боковых сторон $LA$ и $NB$ будут разными, если только параллелепипед не обладает определенной симметрией (например, если он не является прямым, а боковые грани не являются ромбами). Таким образом, в общем случае $LA$ не параллельна $NB$.

Следовательно, четырехугольник $LNAB$ имеет ровно одну пару параллельных сторон, что соответствует определению трапеции.

Ответ:
Да, четырехугольник $LNAB$ является трапецией, так как его стороны $LN$ и $AB$ лежат в параллельных плоскостях оснований параллелепипеда и являются линиями пересечения этих плоскостей с секущей плоскостью $(LNA)$, а значит, $LN \parallel AB$.