Номер 180, страница 79 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

180. Начертите параллелепипед $KLMNK_1L_1M_1N_1$. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку пересечения диагоналей грани $KLMN$ и параллельной плоскости $MLK_1$. Докажите, что прямая $LN_1$ параллельна плоскости сечения.

Построение сечения

Пусть дан параллелепипед $KLMNK_1L_1M_1N_1$. Обозначим точку пересечения диагоналей $KM$ и $LN$ грани $KLMN$ как $O$. Требуется построить сечение параллелепипеда плоскостью $\alpha$, которая проходит через точку $O$ и параллельна плоскости $\beta$, проходящей через точки $M, L, K_1$, то есть $\beta = (MLK_1)$.

Для построения будем использовать свойство, что если две параллельные плоскости ($\alpha$ и $\beta$) пересекаются третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны.

1. Найдем линию пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью основания $(KLMN)$. Эта линия проходит через точку $O$ и должна быть параллельна линии пересечения плоскостей $\beta$ и $(KLMN)$, которой является прямая $ML$. Проведем в плоскости $(KLMN)$ через точку $O$ прямую, параллельную $ML$. Так как $O$ является центром параллелограмма $KLMN$ (точкой пересечения его диагоналей), эта прямая пересечет ребра $KL$ и $MN$ в их серединах. Обозначим середину ребра $KL$ как $B$, а середину ребра $MN$ как $A$. Таким образом, отрезок $BA$ является следом секущей плоскости на плоскости основания.
2. Найдем линию пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью боковой грани $(KLL_1K_1)$. Эта линия проходит через точку $B$ (середину $KL$) и должна быть параллельна линии пересечения плоскостей $\beta$ и $(KLL_1K_1)$, которой является прямая $LK_1$. В плоскости грани $(KLL_1K_1)$ проведем через точку $B$ прямую, параллельную $LK_1$. В треугольнике $\triangle LKK_1$ эта прямая будет являться средней линией, следовательно, она пересечет ребро $KK_1$ в его середине. Обозначим эту точку $C$. Отрезок $BC$ — это второй отрезок сечения.
3. Для нахождения остальных вершин сечения воспользуемся тем, что секущая плоскость пересекает параллельные грани параллелепипеда по параллельным прямым.
   • Грань $(MNN_1M_1)$ параллельна грани $(KLL_1K_1)$. Следовательно, плоскость $\alpha$ пересекает грань $(MNN_1M_1)$ по прямой, проходящей через точку $A$ и параллельной отрезку $BC$. Обозначим эту прямую $AD$, где $D$ лежит на одном из ребер грани $(MNN_1M_1)$. Так как $BC \parallel LK_1$, то и $AD \parallel LK_1$. В параллелепипеде диагонали параллельных граней $LK_1$ и $MN_1$ параллельны ($LK_1 \parallel MN_1$). Значит, $AD \parallel MN_1$. В треугольнике $\triangle MNN_1$ прямая, проходящая через середину стороны $MN$ (точку $A$) параллельно стороне $MN_1$, является его средней линией. Следовательно, точка $D$ — середина ребра $NN_1$.
4. Соединяя последовательно найденные точки $B, C, D, A$, получаем искомое сечение. Это четырехугольник $BCDA$, вершины которого являются серединами ребер $KL, KK_1, NN_1, MN$ соответственно. Так как $BC \parallel AD$ (по построению) и $BA \parallel CD$ (обе прямые параллельны $LM$), то сечение $BCDA$ является параллелограммом.

Ответ: Сечением является параллелограмм $BCDA$, где точки $B, C, D, A$ — середины ребер $KL, KK_1, NN_1, MN$ соответственно.

Доказательство того, что прямая $LN_1$ параллельна плоскости сечения

Нам нужно доказать, что прямая $LN_1$ параллельна построенной плоскости сечения $\alpha = (BCDA)$.

1. По условию и построению, плоскость сечения $\alpha$ параллельна плоскости $\beta = (MLK_1)$.
2. Чтобы доказать, что прямая $LN_1$ параллельна плоскости $\alpha$, достаточно доказать, что прямая $LN_1$ лежит в плоскости $\beta$ (или параллельна ей), так как по свойству параллельности прямой и плоскости, если прямая лежит в одной из двух параллельных плоскостей (и эти плоскости не совпадают), то она параллельна другой плоскости.
3. Докажем, что прямая $LN_1$ лежит в плоскости $\beta = (MLK_1)$. Для этого покажем, что все четыре точки $L, M, N_1, K_1$ лежат в одной плоскости (компланарны), рассмотрев четырехугольник $LMN_1K_1$.
4. В параллелепипеде $KLMNK_1L_1M_1N_1$ противоположные грани являются равными и параллельными параллелограммами. Рассмотрим векторы $\vec{LM}$ и $\vec{K_1N_1}$.
   • В нижнем основании $KLMN$ имеем $\vec{LM} = \vec{KN}$.
   • В верхнем основании $K_1L_1M_1N_1$ имеем $\vec{L_1M_1} = \vec{K_1N_1}$.
   • Так как основания параллельны и равны, $\vec{LM} = \vec{L_1M_1}$.
   • Из этих равенств следует, что $\vec{LM} = \vec{K_1N_1}$.
5. Равенство векторов $\vec{LM}$ и $\vec{K_1N_1}$ означает, что отрезки $LM$ и $K_1N_1$ параллельны и равны по длине.
6. Четырехугольник $LMN_1K_1$, у которого две противоположные стороны ($LM$ и $K_1N_1$) параллельны и равны, является параллелограммом.
7. Это означает, что его вершины $L, M, N_1, K_1$ лежат в одной плоскости. Эта плоскость определяется любыми тремя из этих точек, например, $M, L, K_1$, то есть это плоскость $\beta = (MLK_1)$.
8. Поскольку точки $L$ и $N_1$ принадлежат плоскости $\beta$, то и вся прямая $LN_1$ лежит в этой плоскости.
9. Итак, мы установили, что прямая $LN_1$ лежит в плоскости $\beta$, а плоскость $\beta$ параллельна плоскости сечения $\alpha$. Так как точка $O$ (центр основания) лежит в $\alpha$, но не лежит в $\beta$, плоскости $\alpha$ и $\beta$ не совпадают.
10. Следовательно, по определению, прямая $LN_1$ параллельна плоскости сечения $\alpha$.

Ответ: Параллельность прямой $LN_1$ плоскости сечения доказана.