Номер 176, страница 79 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

176. На рёбрах $N_1K_1$, $LK$, $MM_1$ параллелепипеда $MNKLM_1N_1K_1L_1$ выбраны точки $Q, T, R$ соответственно. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью $QTR$.

Для построения сечения параллелепипеда $MNKLM_1N_1K_1L_1$ плоскостью, проходящей через точки $Q$, $T$ и $R$, воспользуемся методом следов и свойством параллельности граней параллелепипеда.

Пошаговое построение:

1. Построение следа секущей плоскости на плоскости нижнего основания.

Следом плоскости сечения $(QTR)$ на плоскости нижнего основания $(MNK)$ является прямая. Для ее построения найдем две точки, принадлежащие одновременно и секущей плоскости, и плоскости основания.

• Точка $T$ лежит на ребре $LK$, которое принадлежит нижнему основанию. Следовательно, точка $T$ принадлежит плоскости $(MNK)$. Так как $T$ также является одной из точек, задающих сечение, то $T$ лежит на следе.
• Для нахождения второй точки пересечем прямую $QR$, лежащую в секущей плоскости, с плоскостью основания $(MNK)$. Для этого используем метод проекций. Спроецируем точки $Q$ и $R$ на плоскость $(MNK)$ параллельно боковому ребру $MM_1$. Проекцией точки $R \in MM_1$ является точка $M$. Проекцией точки $Q \in N_1K_1$ является точка $Q'$, лежащая на ребре $NK$.
• Прямые $QR$ и $MQ'$ лежат в одной вспомогательной плоскости $(QRM)$ и, в общем случае, не параллельны. Найдем их точку пересечения: $X = QR \cap MQ'$.
• Так как $X \in QR$, то $X$ принадлежит секущей плоскости $(QTR)$.
• Так как $X \in MQ'$, то $X$ принадлежит плоскости нижнего основания $(MNK)$.
• Следовательно, точка $X$ также лежит на следе.
• Таким образом, след секущей плоскости на плоскости $(MNK)$ — это прямая $TX$.

2. Построение стороны сечения на нижней и левой гранях.

• Линия пересечения секущей плоскости с гранью нижнего основания $MNKL$ — это отрезок следа $TX$, находящийся внутри этой грани. Один конец отрезка — точка $T$ на ребре $LK$.
• Найдем вторую точку, в которой прямая $TX$ пересекает контур грани $MNKL$. Пусть эта прямая пересекает ребро $ML$ в точке $P$. Тогда $TP$ — это линия пересечения секущей плоскости с плоскостью $(MNK)$, а отрезок, являющийся стороной сечения, будет соединять точки на ребрах. В данном случае, пусть $P$ - точка на ребре $ML$, а $S$ - точка на ребре $NK$. Тогда сторона сечения - отрезок $PS$. Однако, в зависимости от положения точки $X$, прямая $TX$ может пересекать разные ребра. Предположим, что она пересекает ребро $ML$ в точке $P$. Тогда отрезок $TP$ является стороной сечения на нижней грани.
• Теперь рассмотрим левую грань $MLL_1M_1$. На ней лежат две точки, принадлежащие секущей плоскости: построенная точка $P$ (на ребре $ML$) и данная точка $R$ (на ребре $MM_1$).
• Соединим точки $P$ и $R$ отрезком. $PR$ — это сторона сечения на левой грани.

3. Построение стороны сечения на задней и правой гранях, используя свойство параллельности.

• Передняя грань $MNN_1M_1$ параллельна задней грани $LKK_1L_1$. Плоскость сечения пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым. Следовательно, сторона сечения на задней грани должна быть параллельна стороне сечения на передней грани.
• На передней грани $MNN_1M_1$ лежит точка $R$. Найдем второй конец стороны сечения на этой грани. Для этого воспользуемся другим свойством.
• Левая грань $MLL_1M_1$ параллельна правой грани $NKK_1N_1$. Значит, сторона сечения на правой грани параллельна стороне сечения на левой грани, то есть отрезку $PR$.
• На правой грани $NKK_1N_1$ лежит точка $Q$. Проведем через точку $Q$ прямую, параллельную $PR$. Пусть эта прямая пересекает ребро $NK$ в точке $S$. Тогда $QS$ — сторона сечения на правой грани.

4. Построение оставшихся сторон сечения.

• Мы получили четыре вершины сечения: $T$ (на $LK$), $P$ (на $ML$), $R$ (на $MM_1$), $S$ (на $NK$) и $Q$ (на $N_1K_1$).
• Соединим точки, лежащие на одной грани:
• На нижней грани $(MNK)$ лежат точки $T, P, S$. Они лежат на одной прямой $TX$. Таким образом, стороной сечения будет отрезок $PS$.
• На левой грани $(MLL_1M_1)$ лежат точки $P$ и $R$. Соединяем их: сторона $PR$.
• На правой грани $(NKK_1N_1)$ лежат точки $Q$ и $S$. Соединяем их: сторона $QS$.
• На верхней грани $(M_1N_1K_1L_1)$ лежит точка $Q$. Верхняя грань параллельна нижней. Значит, сторона сечения на верхней грани параллельна стороне $PS$ на нижней грани. Проведем через $Q$ прямую, параллельную $PS$. Пусть она пересечет ребро $M_1L_1$ в точке $U$. Сторона сечения — $QU$.
• На передней грани $(MNN_1M_1)$ лежит точка $R$. Передняя грань параллельна задней. Найдем сторону на задней грани. На ней лежит точка $T$. Проведем через $T$ прямую, параллельную стороне сечения на передней грани.
• Соединим оставшиеся вершины. У нас есть вершины $P,S,R,Q,U$. - $U$ (на $M_1L_1$) и $P$ (на $ML$) лежат на левой грани. Но у нас уже есть отрезок $PR$ на этой грани. Это значит, что точки $U, R, P$ лежат на одной прямой. Сторона сечения на левой грани — это отрезок $UP$. - $U$ (на $M_1L_1$) и $Q$ (на $N_1K_1$) лежат на верхней грани. Сторона $UQ$. - $Q$ (на $N_1K_1$) и $S$ (на $NK$) лежат на правой грани. Сторона $QS$. - $S$ (на $NK$) и $T$ (на $LK$) лежат на нижней грани. Но мы определили, что сторона на нижней грани - это $PS$. Это указывает на то, что в зависимости от конкретного расположения исходных точек, сечение может пересекать разные ребра.

Приведем универсальный алгоритм, который приводит к правильному результату в общем случае.

1. Построить след $s = TX$ на плоскости основания $(MNK)$, как описано в п.1.

2. Найти точки пересечения следа $s$ с ребрами нижнего основания. Пусть это будут точки $P_1$ на ребре $ML$ и $P_2$ на ребре $NK$. Тогда $P_1P_2$ — сторона сечения на нижней грани. (Точка T лежит на прямой $P_1P_2$).

3. На левой грани $(MLL_1M_1)$ имеются точки $P_1$ и $R$. Прямая $P_1R$ пересекает ребра этой грани. Пусть она пересекает ребро $M_1L_1$ в точке $P_3$. Тогда $P_1P_3$ — сторона сечения на левой грани (точка $R$ лежит на этом отрезке).

4. На верхней грани $(M_1N_1K_1L_1)$ имеются точки $P_3$ и $Q$. Соединяем их. $P_3Q$ — сторона сечения на верхней грани.

5. На правой грани $(NKK_1N_1)$ имеются точки $Q$ и $P_2$. Соединяем их. $QP_2$ — сторона сечения на правой грани.

6. В результате получаем замкнутый многоугольник. В рассмотренном случае это четырехугольник $P_1P_3QP_2$. Однако, если прямая $P_1R$ пересечет ребро $LL_1$ (а не $M_1L_1$), а прямая $P_3Q$ пересечет ребро $K_1K$, сечение будет иметь больше сторон. Описанный метод построения является общим.

В зависимости от конкретного расположения точек $Q, T, R$ сечением может быть треугольник, четырехугольник, пятиугольник или шестиугольник. Описанный выше метод позволяет построить его в любом случае.

Ответ: Искомое сечение — многоугольник, построенный путем последовательного нахождения точек пересечения секущей плоскости с ребрами параллелепипеда, как описано выше. В общем случае это пятиугольник или шестиугольник.