Номер 181, страница 79 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

181. Сечение треугольной пирамиды $TXYZ$, параллельное плоскости $XYZ$, делит боковое ребро в отношении $1 : 3$, если считать от вершины. Найдите площадь сечения, учитывая, что площадь треугольника $XYZ$ равна $q$.

Пусть дана треугольная пирамида $TXYZ$ с вершиной $T$ и основанием $XYZ$. Сечение, параллельное плоскости основания $XYZ$, отсекает от исходной пирамиды меньшую пирамиду, которая подобна исходной. Обозначим точки пересечения секущей плоскости с боковыми ребрами $TX, TY, TZ$ как $X', Y', Z'$ соответственно. Таким образом, пирамида $TX'Y'Z'$ подобна пирамиде $TXYZ$.

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента их подобия $k$. В данном случае, отношение площади сечения $S_{X'Y'Z'}$ к площади основания $S_{XYZ}$ выражается формулой: $$ \frac{S_{X'Y'Z'}}{S_{XYZ}} = k^2 $$

Коэффициент подобия $k$ равен отношению соответствующих линейных размеров, например, отношению высот пирамид или отношению длин боковых ребер. По условию задачи, секущая плоскость делит боковое ребро (возьмем для примера ребро $TX$) в отношении $1:3$, считая от вершины $T$. Это означает, что отношение длины отрезка $TX'$ к длине отрезка $X'X$ равно $1:3$. $$ \frac{TX'}{X'X} = \frac{1}{3} $$

Пусть длина отрезка $TX'$ равна $x$. Тогда длина отрезка $X'X$ будет равна $3x$. Полная длина бокового ребра $TX$ является суммой длин его частей: $$ TX = TX' + X'X = x + 3x = 4x $$

Теперь мы можем найти коэффициент подобия $k$ как отношение длины бокового ребра меньшей пирамиды $TX'Y'Z'$ к длине соответствующего бокового ребра большей пирамиды $TXYZ$: $$ k = \frac{TX'}{TX} = \frac{x}{4x} = \frac{1}{4} $$

Площадь основания $S_{XYZ}$ по условию равна $q$. Используя найденный коэффициент подобия, мы можем вычислить площадь сечения $S_{X'Y'Z'}$: $$ S_{X'Y'Z'} = S_{XYZ} \cdot k^2 = q \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^2 = q \cdot \frac{1}{16} = \frac{q}{16} $$

Ответ: $\frac{q}{16}$